2
√
1+(
Δ
𝑥/2)²
Вспомним теперь, что скорость света одинакова как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе отсчёта ракеты (что хотя и неправдоподобно, но является законом природы!). Поэтому разность времён акта излучения и акта приёма вспышки в лабораторной системе отсчёта выражается такой же формулой
Δ
𝑡
=
𝑡
𝐵
-
𝑡
𝐴
=
2
√
1+(
Δ
𝑥/2)²
(4)
(в метрах светового времени).
Промежуток времени между событиями 𝐴 и 𝐵 неодинаков для наблюдателей в лаборатории и на ракете
Почему этот промежуток времени превышает 2 м? Дело в том, что гипотенуза прямоугольного треугольника на рис. 13,а больше, чем его высота. Поэтому невозможно избежать заключения о том, что промежуток времени между актами излучения и приёма вспышки неодинаков в двух инерциальных системах отсчёта.
Таблица 5.
Разности координат событий приёма и посылки сигнала
Лабораторная система
отсчёта
Система отсчёта
ракеты
𝑥
приём
-𝑥
излуч
=
Δ
𝑥
𝑥
приём
'-𝑥
излуч
'=
Δ
𝑥'
=0
𝑡приём-𝑡излуч=Δ𝑡=
=2√1+(Δ𝑥/2)²
𝑡
приём
'-𝑡
излуч
'=
Δ
𝑥'
=2
м
В табл. 5 сведены разности как пространственных, так и временной координат событий 𝐴 и 𝐵. Промежуток времени различен в разных инерциальных системах отсчёта; различен и промежуток, разделяющий события в пространстве,— картина аналогична той, когда разности координат Δ𝑥 и Δ𝑦 для двух городских ворот были разными для дневного и ночного землемеров! Но для этих землемеров существовала комбинация координат (квадрат расстояния между воротами), одинаковая для них обоих:
(Расстояние)
²
=
(
Δ
𝑥
)
²
+
(
Δ
𝑦
)
²
=
(
Δ
𝑥'
)
²
+
(
Δ
𝑦'
)
²
.
Есть ли подобная комбинация координат наших двух событий, которая была бы одинаковой в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты? Ответ на этот вопрос: да! Квадрат интервала
(Интервал)
²
=
(
Δ
𝑡
)
²
-
(
Δ
𝑥
)
²
=
(
Δ
𝑡'
)
²
-
(
Δ
𝑥'
)
²
=
(2
м
)
²
(5)
— именно такая величина, как можно проверить путём непосредственной подстановки величин, фигурирующих в табл. 5.
Интервал между между событиями 𝐴 и 𝐵 имеет одну и ту же величину как для наблюдателя в лаборатории, так и на ракете
Взятая нами для исследования двух событий система отсчёта ракеты является довольно-таки специальной, так как и акт излучения, и акт приёма сигнала происходят в ней в одной и той же точке. На рис. 13, в изображён путь отражённого луча в системе отсчёта второй ракеты (система «сверхракеты»), движущейся относительно лабораторной системы отсчёта ещё быстрее, чем первая ракета. В системе этой второй ракеты разность координат 𝑥 двух событий — актов излучения и приёма вспышки (дважды штрихованные величины) 𝑥𝐵ʺ=𝑥𝐴ʺ-Δ𝑥ʺ — отрицательна, ибо акт приёма осуществляется в этой системе отсчёта на отрицательной оси 𝑥. Тем не менее (-Δ𝑥ʺ)²=(Δ𝑥ʺ)² и к тому же можно использовать свойства прямоугольных треугольников на рис. 13, в, из всего этого следует, что полная длина пути светового луча в системе отсчёта второй ракеты даётся выражением 2√1+(Δ𝑥ʺ/2)², которое имеет тот же вид, что и в лабораторной системе. Величина скорости света в системе отсчёта второй ракеты должна быть равна 𝑐, как и в системе первой ракеты. Отсюда найдём время, прошедшее между актами излучения и приёма вспышки:
𝑡
𝐵
ʺ-𝑡
𝐴
ʺ
=
Δ
𝑡ʺ
=
2√
1+(
Δ
𝑥ʺ/2)²
.
Следовательно,
(
Δ
𝑡ʺ)²
-
(
Δ
𝑥ʺ)²
=
(2
м
)
²
,
так что вообще
(
Δ
𝑡)²
-
(
Δ
𝑥)²
=
(
Δ
𝑡')²
-
(
Δ
𝑥')²
=
(
Δ
𝑡ʺ)²
-
(
Δ
𝑥ʺ)²
=
(2
м
)
²
.
(6)
Интервал 𝐴𝐵 имеет одну и ту же величину в системах всех ракет!
Забудем теперь о посланной вспышке, отражателе и о возвращении этой вспышки. Ведь это лишь средства для достижения цели. Они помогли выяснить, какая величина имеет одно и то же значение в различных системах отсчёта. Теперь сосредоточим внимание на этой величине — интервале, оставив в стороне подробности её вывода.
Что одинаково в двух инерциальных системах отсчёта?
Что в них почти одинаково?
Что различной?
Что мы выяснили? Два события, 𝐴 и 𝐵 происходят в одном и том же месте в системе отсчёта ракеты (Δ𝑥'=0), но в разное время (Δ𝑡'=2 м). В лабораторной системе отсчёта эта же пара событий происходит в пространстве на расстоянии Δ𝑥, и, чем быстрее движется ракета, тем больше это расстояние. Этот вывод никого не удивит, и многие с полным правом скажут: «Да это же более чем очевидно!». Удивительно другое. Во-первых, промежуток времени Δ𝑡 между двумя событиями, зарегистрированный в лабораторной системе отсчёта, имеет другую величину, чем зарегистрированный в системе ракеты. Во-вторых, промежуток времени между событиями 𝐴 и 𝐵 по данным, отпечатанным соответствующими двумя хронографами в лаборатории, превышает промежуток времени между теми же двумя событиями, зарегистрированный такими же часами в ракете: Δ𝑡 ≥ Δ𝑡'. В-третьих, пропорция
Δ𝑡
Δ𝑡'
=
⎡
⎢
⎣
1
+
⎛
⎜
⎝
Δ𝑥
2
⎞²
⎟
⎠
⎤½
⎥
⎦
,
в которой оказался увеличенным промежуток времени (см. табл. 5), близка к единице (увеличение очень мало), если мало расстояние, которое прошла ракета в промежутке между событиями 𝐴 и 𝐵. Но если ракета движется очень быстро, разность Δ𝑥 очень велика и пропорция, характеризующая несоответствие двух времён, может быть громадной. В-четвёртых, несмотря на эту только что обнаруженную разницу во времени, зарегистрированном в двух разных системах отсчёта, и несмотря на давно уже известную разницу в пространственном расстоянии между событиями в разных системах отсчёта (Δ𝑥 ≠ Δ𝑥' = 0), существует тем не менее величина, действительно равная в лабораторной системе отсчёта тем же двум метрам промежутка светового времени между событиями 𝐴 и 𝐵, которые были зарегистрированы в системе отсчёта ракеты. Эта величина — интервал