(Интервал)
=
√
(
Δ
𝑡)² - (
Δ
𝑥)²
.
У ракеты может быть очень большая скорость, и тогда Δ𝑥 тоже будет очень большим. Но и Δ𝑡 в этом случае будет очень большим. Более того, величина Δ𝑡 оказывается в точности «подогнанной» к величине Δ𝑥, так что выражение (Δ𝑡)² - (Δ𝑥)² равно (2 м)² вне зависимости от того, чему именно равны порознь Δ𝑥 и Δ𝑡.
Все четыре замечательные идеи частной теории относительности иллюстрируются одной и той же диаграммой
Все перечисленные отношения можно увидеть, взглянув на рис. 13, а. Длина гипотенузы первого прямоугольного треугольника равна Δ𝑡/2 а его основание имеет длину Δ𝑥/2. Утверждение, что выражение (Δ𝑡)² - (Δ𝑥)² обладает универсальной величиной (или, иначе, что (Δ𝑡/2)² - (Δ𝑥/2)² обладает универсальной величиной), значит лишь, что высота этого прямоугольного треугольника строго фиксирована (равна на нашей диаграмме 1 м), с какой бы скоростью ни летела ракета. Но что именно лежало в основе доказательства того, что (Δ𝑡)² - (Δ𝑥)² равняется (2 м)² независимо от скорости полёта ракеты? В основе лежал принцип относительности, согласно которому законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Мы воспользовались здесь этим принципом двумя совершенно различными способами. Во-первых, мы вывели из него заключение, что длины, перпендикулярные направлению относительного движения систем, получаются одинаковыми при измерении в этих системах (лабораторной системе и системе отсчёта ракеты). В противном случае одну систему было бы можно отличить от другой по более коротким поперечным масштабам. Во-вторых, из принципа относительности мы заключили, что скорость света должна быть одинаковой как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе ракеты (этот вывод подтверждается экспериментом Кеннеди — Торндайка). А если эта скорость одинакова, то из факта большей длины траектории световой вспышки в лабораторной системе (сумма длин гипотенуз двух треугольников), чем в системе отсчёта ракеты, где свет совершает простое движение взад и вперёд (сумма высот двух треугольников: 1 м вверх и столько же вниз), мы непосредственно заключаем, что время между событиями 𝐴 и 𝐵 в лабораторной системе больше, чем в системе отсчёта ракеты.
Короче говоря, один элементарный треугольник на рис. 13, а изображает сразу 4 замечательные идеи, лежащие в основе всей частной теории относительности: инвариантность длин, поперечных движению; инвариантность величины скорости света; зависимость пространственной и временно'й координат от выбора системы отсчёта; инвариантность интервала.
Парадоксально ли различие между промежутками времени, прошедшего в лабораторной системе и в системе отсчёта ракеты?
Итак, в рис. 13, а вкратце содержится вся частная теория относительности в легко запоминающемся виде. Однако проделанный анализ приводит к тому, что на первый взгляд кажется нелепостью. Какой смысл можно вообще усмотреть в том, что промежуток времени между двумя событиями больше в лабораторной системе отсчёта, чем в системе ракеты? Разве мы не приводили уже в качестве довода, что «длины, перпендикулярные направлению относительного движения систем», одинаковы, «в противном случае одну из систем было бы можно отличить от другой по более коротким поперечным масштабам?» Как же быть в этом случае с разными промежутками времени в двух системах отсчёта? Разве это различие не даст возможности физически провести различие между той и другой системами? И разве возможность такого различия не исключена принципом относительности, утверждающим, что одна инерциальная система отсчёта нисколько не хуже другой?
Сравнение относительности времени (Лоренц) с относительностью выбора направления на «север» (Эвклид)
Рис. 14. Удалённость точки 𝐵 от точки 𝐴 по координате «север—юг» («северное склонение 𝐵 относительно 𝐴») зависит от выбора направления на север.
Чтобы ответить на эти вопросы, вернёмся к притче о землемерах. Возьмём точку 𝐵 на рис. 14. Она расположена на 1 м прямо к северу от другой точки 𝐴 согласно построениям ночного землемера (определение направления на север по Полярной звезде). Рассмотрим теперь положение точки 𝐵 с позиций дневного землемера (ориентация на север по магнитной стрелке). Будет ли разность координат Δ𝑦 между 𝐴 и 𝐵 (на языке землемеров — северное склонение) также равна 1 м в дневной системе? Нет, Δ𝑦 здесь меньше, чем 1 м! Почему же? Дело в том, что высота (Δ𝑦) прямоугольного треугольника короче, чем его гипотенуза (1 м). Значит ли это, что правила триангуляции в дневной системе координат отличаются от этих правил в ночной системе координат? Конечно, нет! Точно так же нет дефектов в конструкции и ходе лабораторных часов, на которые можно было бы списать большую длительность промежутка времени 𝐴𝐵. Это «расхождение» в показаниях лабораторных часов и часов на ракете обусловлено лишь самой природой геометрии пространства-времени. Так уж устроен мир! В табл. 6 проведена параллель между геометрией пространства-времени по Лоренцу и эвклидовой геометрией мира землемеров.
Таблица 6.
Различие «северного склонения» (координата 𝑦) точек 𝐴 и 𝐵 в дневной и ночной системах координат и различие времени между событиями 𝐴 и 𝐵 в лабораторной системе отсчёта и системе ракеты. Сравнительный анализ
Вопросы
Ответы студента-геодезиста о различии «северного склонения» между точками 𝐴 и 𝐵 (см. рис. 14)
Ответы студента-физика о различии времени между событиями 𝐴 и 𝐵 (см. рис. 13)
В какой системе отсчёта имеет самый простой вид взаимная удалённость 𝐴 и 𝐵?
В системе координат ночного землемера, сориентированной на Полярную звезду
В системе отсчёта ракеты
Какое обстоятельство упрощает картину в этой системе отсчёта?
Обе точки обладают одинаковым значением координаты 𝑥', т.е. Δ𝑥'=0
Оба события обладают одинаковым значением координаты 𝑥', т.е. Δ𝑥'=0
Почему это обстоятельство упрощает измерение удалённости 𝐴𝐵?
Достаточно единственного метрового стержня, ориентированного на Полярную звезду, чтобы: 1) удостовериться, что координата 𝑥' обеих точек одинакова, и 2) непосредственно измерить «северное склонение» точки 𝐵 относительно точки 𝐴
Достаточно одних часов-хронографа, связанных с системой отсчёта ракеты, чтобы: 1) удостовериться, что координата 𝑥' обоих событий одинакова, и 2) непосредственно измерить запаздывание во времени события 𝐵 относительно события 𝐴
Назовите другую систему, в которой исследуется удалённость 𝐴 и 𝐵
Система координат дневного землемера, сориентированная по магнитному компасу
Лабораторная система отсчёта
Какое усложнение возникает в этой системе при анализе удалённости?