,
что изображено на рис. 15, а. В системе отсчёта второй ракеты (которая летит быстрее, чем первая!) событие — акт приёма — происходит слева от начала координат (рис. 15, в).
𝑥
приём
ʺ
=
Отрицательная величина,
𝑡
приём
ʺ
=
√
(2
м
)
²
+(
𝑥
приём
ʺ
)
²
=
=
Момент времени,
больший 2 м
(снова!).
Различные точки, помеченные на разных диаграммах пространства-времени как акт приёма, относятся к одному и тому же событию. Событие одно, но его координаты в разных системах отсчёта различны. Что же объединяет между собой эти разные координаты одного и того же события? Все они удовлетворяют уравнению
⎛
⎜
⎜
⎝
Разница
во
времени
⎞²
⎟
⎟
⎠
-
⎛
⎜
⎜
⎝
Расстояние
в
пространстве
⎞²
⎟
⎟
⎠
=
(Интервал)
²
=
=
Постоянная величина.
Но это — уравнение гиперболы. Итак, событие, изображённое на гиперболе 𝑡²-𝑥²=(постоянная величина) диаграммы пространства-времени некой лаборатории или ракеты, будет изображаться также на гиперболе, описываемой тем же уравнением, диаграммы пространства-времени любой другой лаборатории или ракеты.
На диаграмме пространства-времени инвариантный интервал соответствует гиперболе
Рис. 16. Относительное расположение координатных осей, соответствующее выбору направления на север дневного, ночного и некоего третьего землемеров.
Существует ли аналогичная кривая, сопоставляющая разные значения координат, получаемые для одних и тех же ворот дневным и ночным землемерами? Координаты 𝑥 и 𝑦, скажем, ворот 𝐴 относительно городской площади определяются в зависимости от выбора направления на север (рис. 16). Дневной и ночной планы этих ворот изображены на рис. 17, а и б. Сделаем ещё один, третий (отличающийся от двух первых), выбор координатных осей, повёрнутых ещё больше, чем ночные оси относительно дневных. Для землемера, пользующегося этим третьим выбором координатных осей, координата 𝑥ʺ ворот 𝐴 может оказаться отрицательной (рис. 17, в).
а) Чертёж дневного землемера.
б) Чертёж ночного землемера.
в) Чертёж третьего землемера.
Рис. 17. Координаты ворот 𝐴, измеренные соответственно дневным, ночным и третьим землемерами. Дуга окружности, изображённая на каждой схеме, описывается уравнениями
(Расстояние)
²
=
𝑥²+𝑦²
=
𝑥'²+𝑦ʺ²
=
𝑥'²+𝑦ʺ²
Инвариантное расстояние соответствует окружности на диаграмме 𝑥𝑦
Различные точки, помеченные на разных чертежах как «ворота 𝐴», относятся к одним и тем же воротам. Ворота одни, но их координаты на разных планах различны. Что же объединяет между собой эти разные координаты одних и тех же ворот? То, что все они удовлетворяют условию
⎛
⎜
⎜
⎝
Разность
координат
𝑥
⎞²
⎟
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎜
⎝
Разность
координат
𝑦
⎞²
⎟
⎟
⎠
=
=
(Расстояние)
²
=
Постоянная величина.
Но это — уравнение окружности. Итак, точка, изображённая на окружности 𝑥²+𝑦²=(постоянная величина) в системе координат любого землемера, будет изображаться также на окружности, описываемой тем же уравнением, в системе координат любого другого землемера.
Это — основное различие между школьной эвклидовой геометрией и реальной лоренцевой геометрией пространства-времени. В эвклидовой геометрии инвариантно расстояние между парами точек, и поэтому для всех землемеров ворота 𝐴 будут изображаться где-либо на окружности (плоскости 𝑥𝑦) с центром в городской площади. В лоренцевой геометрии инвариантен интервал между событиями, и поэтому для всех наблюдателей в лабораториях и ракетах данное событие будет изображаться где-либо на гиперболе (на диаграмме пространства-времени) по отношению к опорному событию.
В эвклидовой геометрии длина (или её квадрат) всегда положительна:
(
Δ
𝑥)²
+
(
Δ
𝑦)²
=
(
Δ
𝑥')²
+
(
Δ
𝑦')²
≥
0.
Напротив, квадрат интервала в лоренцевой геометрии
(
Δ
𝑡)²
-
(
Δ
𝑥)²
=
(
Δ
𝑡')²
-
(
Δ
𝑥')²
может быть положительным, отрицательным или равным нулю в зависимости от того, какая составляющая в нем преобладает — временная или пространственная. Более того, к какому бы из этих типов ни принадлежал интервал в одной системе отсчёта, он останется того же типа и в любой другой системе отсчёта, так как величина интервала одинакова во всех системах. Значит, мы обнаружили, что в природе существует фундаментальный способ классифицировать порядок событий. Мы назовём интервал между двумя событиями временноподобным, светоподобным или пространственноподобным в зависимости от того, положителен, равен нулю или отрицателен его квадрат (см. табл. 7) 1).
1) В отечественной литературе чаще говорят не «светоподобный», а «изотропный», иногда— «нулевой», однако термин «светоподобный» вполне отвечает существу дела, и мы его сохранили в переводе. Довольно употребительный термин «времениподобный», кажущийся на первый взгляд менее двусмысленным, чем «временноподобный», едва ли может быть предпочтён последнему ввиду законов словопостроения русского языка. Отметим, что ряд авторов используют определение квадрата интервала, отличающееся от принятого в этой книге знаком, ввиду чего временноподобный квадрат интервала у них отрицателен, а пространственноподобный — положителен.— Прим. перев.
Таблица 7.
Классификация взаимной упорядоченности пар событий
Характер описания
Величина
квадрата интервала
Наименование
Временна'я часть интервала преобладает по сравнению с пространственной
Положительна
Временноподобный интервал
Временна'я часть интервала равна его пространственной части
Равна нулю
Светоподобный (изотропный) интервал
Пространственная часть интервала преобладает по сравнению с временно'й
Отрицательна
Пространственноподобный интервал
Три типа интервалов между парами событий: временноподобный, светоподобный и пространственноподобный
В зависимости от того, временноподобный он или пространственноподобный, интервал между двумя событиями обозначается по-разному. Временноподобный интервал записывается с помощью греческой буквы «тау» (τ) и называется также инвариантным временноподобным расстоянием или собственным временем (иногда — локальным временем) между двумя событиями: