Но от события 𝑂 до события 𝐵 можно «пройти» и по совершенно другой мировой линии, например по прямой 𝑂𝐵 (рис. 19б). Этой новой мировой линии, очевидно, соответствует другой промежуток собственного времени, чем старой мировой линии. В лоренцевой геометрии искривлённая мировая линия между двумя заданными событиями короче, чем прямая мировая линия между теми же двумя событиями,— короче в смысле соответствующего ей промежутка собственного времени (рис. 20). Расстояние между двумя соседними точками по кривому пути всегда равно или больше разности координат 𝑦 этих точек. Напротив, промежуток собственного времени между двумя соседними событиями по кривой мировой линии всегда равен или меньше соответствующего времени по прямой мировой линии. Фундаментальным способом сравнения различных мировых линий между двумя событиями является определение собственного времени.
а) В эвклидовой геометрии.
б) В лоренцевой геометрии.
Рис. 20. Противоположность между геометриями Эвклида и Лоренца. В лоренцевой геометрии искривлённая мировая линия соответствует движению за меньшее собственное время.
Разный наклон мировой линии в разных её точках (на рис. 19б и 20,б) означает, что движущиеся по ней часы меняют скорость — ускоряются. При ускорении разные часы будут вести себя по-разному, если только эти часы не будут достаточно малыми. Как правило, часы могут выдерживать большие ускорения, лишь если они достаточно компактны. Чем меньше часы, тем большие ускорения они смогут выдерживать и тем резче могут быть изгибы их мировых линий. На всех диаграммах (например, на рис. 19б и 20,б) мы рассматриваем предельный случай бесконечно малых часов.
Теперь мы можем рассматривать такое движение частиц и часов, при котором они испытывают большие ускорения. Рассмотрим, в частности, простой частный случай, изображённый на рис. 19б.
Промежуток собственного времени между событиями 𝑂 и 𝐵 с точки зрения трёх мировых линий
Мировая линия на этом рисунке постепенно меняет свой наклон по мере ускорения п замедления частицы. Будем делать всё короче период ускорения (приложение большой движущей силы!) и период замедления. При этом часть времени, проведённая при равномерном движении с большой скоростью, становится всё продолжительнее. В конце концов мы придём к предельному случаю, когда периоды ускорения и торможения будут слишком короткими для того, чтобы быть различимыми на диаграмме пространства-времени (мировая линия 𝑂𝑄𝐵 на рис. 21). В этом простом предельном случае вся история движения определяется: 1) исходным событием 𝑂, 2) конечным событием 𝐵 и 3) координатой 𝑥 точки поворота 𝑄, расположенной на полпути между 𝑂 и 𝐵. На этом примере особенно просто понять, как величина промежутка собственного времени между 𝑂 и 𝐵 зависит от величины координаты 𝑥 точки поворота, и на этом основании сравнить три мировые линии 𝑂𝑃𝐵, 𝑂𝑄𝐵 и 𝑂𝑅𝐵.
Рис. 21. Сравнение трёх разных мировых линий, связывающих события 𝑂 и 𝐵, Резкие изменения скорости в событиях 𝑄 и 𝑅 изображают предельный случай использования малых («противоударных») часов.
Прямая 𝑂𝑃𝐵 изображает мировую линию неподвижной частицы: 𝑥=0 в течение всего времени. Собственное время, прошедшее от события 𝑂 до события 𝐵 по мировой линии, проходящей через 𝑃, очевидно, равно времени, измеренному в инерциальной системе отсчёта:
τ
𝑂𝑃𝐵
=
10
3
м
светового времени.
Напротив, на мировой линии, соединяющей 𝑂 и 𝐵 через 𝑅, каждая часть — светоподобная, так как для каждого её отрезка разности пространственной и временной координат равны друг другу, и поэтому
τ
𝑂𝑅𝐵
=
⎛
⎜
⎝
Удвоенное собственное
время на отрезке 𝑂𝑅
⎞
⎟
⎠
=
=
2
⎛
⎝
(Время)
²
-
(Расстояние)
²
⎞½
⎠
=
=
0.
Конечно, со скоростью света не могут двигаться никакие часы, и мировая линия 𝑂𝑅𝐵 не может реализоваться в действительности. Тем не менее она представляет собой предельное положение реально осуществимых мировых линий. Иными словами, можно найти такую скорость, которая будет достаточно близкой к скорости света, хотя и меньше её, что путешествие с этой скоростью сначала в одну, а затем в другую сторону вернёт идеальные часы назад в точку 𝑥=0 по прошествии столь короткого промежутка собственного времени, какой нам потребуется.
В отличие от предельного случая линии 𝑂𝑅𝐵 мировая линия 𝑂𝑄𝐵 соответствует промежутку собственного времени:
τ
𝑂𝑄𝐵
=
⎛
⎜
⎝
Удвоенное собственное
время на отрезке 𝑂𝑄
⎞
⎟
⎠
=
=
2
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
5
3
⎞²
⎟
⎠
-
⎛
⎜
⎝
4
3
⎞²
⎟
⎠
⎤½
⎥
⎦
=
=
2
⎡
⎢
⎣
25-16
9
⎤½
⎥
⎦
=
=
2
м
светового времени.
Этот промежуток собственного времени короче, чем τ𝑂𝑃𝐵=10/3 м по «прямой» мировой линии 𝑂𝑃𝐵!
Как мы видим, собственное время реального физического мира (пространства-времени) существенно отличается от понятия расстояния в школьной эвклидовой геометрии. Самое короткое расстояние — по прямому пути, и поэтому определяют: «Прямая линия есть кратчайший путь между двумя точками». Наоборот, промежуток собственного времени короче для того путешественника, который улетел, ускорившись до огромной скорости, а затем повернул и вернулся назад, чем для человека, остававшегося у себя дома. (См. упражнения 27 и 49, посвящённые парадоксу часов). Короче говоря, собственное время — это подходящее мерило для времени, наблюдаемого частицей, движущейся по мировой линии. Точно так же деления на гибкой рулетке оказываются подходящими для измерения расстояния, пройденного путешественником по криволинейному пути.
7. ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
Включение координат 𝑦 и 𝑧 в интервал
До сих пор, рассматривая интервал между двумя событиями 𝐴 и 𝐵, мы ограничивались тем случаем, когда координаты 𝑦 и 𝑧 этих событий одинаковы. Тогда расстояние между событиями в пространстве измерялось величиной
Расстояние
=
Δ
𝑥,
а интервал задавался выражением
√
(
Δ
𝑡)²-
(
Δ
𝑥)²
.
Однако ясно, что ориентация осей 𝑥, 𝑦 и 𝑧 может быть выбрана произвольно. При другой ориентации этих осей компонента Δ𝑥 радиуса-вектора между двумя событиями, вообще говоря, окажется совсем другой, чем прежде. Лишь расстояние в пространстве между двумя событиями никак не зависит от выбора ориентации осей и задаётся выражением
(Расстояние)
²