⎠
=-
⎛
⎜
⎜
⎝
Времен-
ноподобный
интервал
⎞²
⎟
⎟
⎠
=
=
𝑥²-𝑡²
=
(𝑥')²-(𝑡')²
.
(15)
В разных системах отсчёта координаты события различны
Сосредоточим теперь наше внимание на самих координатах как характеристике расположения события 𝐸 относительно начала 𝑂. Мы сделаем это, заранее признавая, что они зависят от выбора системы отсчёта. В этом отношении положение координат гораздо менее универсально, чем положение инвариантного интервала как меры взаимного разделения событий. Пусть так. Физика должна приладиться к тому, что есть в мире. Описывать удалённость событий друг от друга следует тем методом, который лучше соответствует обстоятельствам. Бывает, что торпедному катеру полезнее указать, что расстояние между носом и кормой атакуемого судна 50 м. Но в другом случае может быть, что ему гораздо важнее указать, что положение носа судна относительно кормы 40 м к северу и 30 м к востоку. В той задаче, которая нас занимает, нам не интересно, что мировая точка распада π-мезона отстоит от мировой точки его образования на величину инвариантного интервала τ, равную около 10⁻⁸ сек. Нам нужно охарактеризовать удалённость этих событий друг от друга самими координатами 𝑥 и 𝑡.
а) Диаграмма пространства-времени лабораторной системы отсчёта.
б) Диаграмма пространства-времени системы отсчёта ракеты.
Рис. 25. Координаты точек рождения (точка 𝑂) и распада (точка 𝐸) π-мезона, изображённые на диаграммах пространства-времени лабораторной системы и системы отсчёта ракеты.
Преобразование Лоренца для координат
Как бы сильно ни различались координаты (𝑥',𝑡') события 𝐸 в системе отсчёта ракеты от его координат (𝑥,𝑡) в лабораторной системе, эти два набора координат связаны друг с другом вполне определённым и простым законом. Этот закон выражается через преобразование Лоренца
𝑥
=
𝑥'
√1-β𝑟²
+
β𝑟𝑡'
√1-β𝑟²
,
𝑡
=
β𝑟𝑥'
√1-β𝑟²
+
𝑡'
√1-β𝑟²
,
(16)
где β𝑟— скорость системы отсчёта ракеты относительно лабораторной системы отсчёта. Ввиду выполнения этого закона говорят, что координаты обеспечивают ковариантное описание взаимной удалённости событий в пространстве-времени в противоположность инвариантному описанию этой удалённости, обеспечиваемому интервалом. Корень «вари» в слове ковариантный»
Определение понятия «ковариантность»
указывает, что координаты изменяются (варьируют) при переходах от одной системы отсчёта к другой. Приставка «ко» означает, что преобразование координат всех событий производится по одному и тому же закону (координированно). Итак, для разных событий различны как координаты 𝑥' и 𝑡', так и координаты 𝑥 и 𝑡, но четвёрка коэффициентов
⎛
⎝
1-β
𝑟
²
⎞-½
⎠
,
β
𝑟
⋅
⎛
⎝
1-β
𝑟
²
⎞-½
⎠
,
β
𝑟
⋅
⎛
⎝
1-β
𝑟
²
⎞-½
⎠
,
⎛
⎝
1-β
𝑟
²
⎞-½
⎠
,
связывающая эти два набора координат, обладает значениями, не зависящими от того, какое событие рассматривается.
В этом разделе мы будем обсуждать вывод формул преобразования Лоренца, их использование и их сходство с известными формулами преобразований эвклидовой геометрии, иллюстрируемыми на примере притчи о землемерах.
Три принципа, на которых основано преобразование Лоренца
Вывод преобразования Лоренца основывается на трех принципах, которые мы уже можем сформулировать:
1) Коэффициенты преобразования не должны зависеть от того, какое событие рассматривается («ковариантность преобразования»).
2) Выбор коэффициентов преобразования должен соответствовать тому, что точка, фиксированная в системе отсчета ракеты, движется в лабораторной системе отсчета со скоростью β𝑟 в положительном направлении оси 𝑥.
3) Коэффициенты преобразования должны быть такими, чтобы любой интервал имел одно и то же значение в лабораторной системе и в системе отсчета ракеты.
Эти три принципа легко применить к случаю распада π-мезона. В лабораторной системе отсчета это событие имеет координаты (𝑥,𝑡) относительно события — рождения мезона, и эти координаты должны быть выражены через скорость β𝑟 системы отсчета ракеты, в которой π-мезон покоится. Эту скорость непосредственно даёт отношение координат 𝑥 и 𝑡,
𝑥
𝑡
=
β
𝑟
,
так что
𝑥
=
β
𝑟
𝑡
,
или
𝑥²
=
β
𝑟
²
⋅
𝑡²
.
(17)
Первый этап вывода преобразования Лоренца
Временноподобный интервал, образованный 𝑥 и 𝑡, определяется временем жизни π-мезона в системе отсчёта ракеты (где мезон покоится в точке 𝑥'=0):
𝑡²-𝑥²
=
𝑡'²-𝑥'²
=
𝑡'²-0
=
τ
π
²
.
Подставим в эту формулу β𝑟²𝑡² вместо 𝑥² на основании уравнения (17). Получим
𝑡²
-
β
𝑟
²𝑡²
=
𝑡'²
=
τ
π
²
,
или
𝑡²
=
𝑡²
1-β𝑟²
=
τπ²
1-β𝑟²
,
или
𝑡
=
𝑡'
√1-β𝑟²
=
τπ
√1-β𝑟²
.
(Численный пример: положим β𝑟=¹²/₁₃ скорости света; тогда 1-β𝑟²=1-¹⁴⁴/₁₆₉=²⁵/₁₆₉ и (1-β²)⁻¹/²=¹³/₅=2,6. Следовательно, время жизни π-мезона, измеренное в лаборатории, в 2,6 раза длиннее «собственного времени жизни», т.е. оно в 2,6 раза длиннее, чем время жизни, измеренное в системе отсчёта, связанной с самим мезоном). Расстояние, пройденное π-мезоном, равно времени движения, умноженному на скорость, так что
𝑥
=
β
𝑟
𝑡
=
β𝑟𝑡'
√1-β𝑟²
.
Решение задачи о π-мезоне
Этим расчётом завершается решение поставленной задачи (найти координаты мировой точки распада π-мезона относительно мировой точки его рождения в лабораторной системе координат).
Задача о π-мезоне служила введением к общей задаче — найти координаты данного события в лабораторной системе, если заданы его координаты в системе ракеты. Если мы покажем, что эта задача равнозначна выводу формул преобразования Лоренца, значит, мы пришли к методу вывода этого преобразования, исходя из простейших предположений. На самом деле, мы уже нашли два коэффициента из четырёх в формулах преобразования Лоренца:
𝑡
=
β
𝑟
𝑡
=
𝑡'
√1-β𝑟²
+
𝐴𝑥'
,