Δ𝑥
Δ𝑦
=
[из (19)]
=
(1+𝑆𝑟²)⁻¹/²Δ𝑥'+𝑆𝑟⋅(1+𝑆𝑟²)⁻¹/²Δ𝑦'
-𝑆𝑟(1+𝑆𝑟²)⁻¹/²Δ𝑥'+(1+𝑆𝑟²)⁻¹/²Δ𝑦'
=
[сокращение числителя и
знаменателя на
(1+𝑆
𝑟
²)⁻¹
/
²
]
=
Δ𝑥'+𝑆𝑟Δ𝑦'
-𝑆𝑟Δ𝑥'+Δ𝑦'
=
(деление числителя и знаменателя на
Δ
𝑦'
)
=
(Δ𝑥'/Δ𝑦')+𝑆𝑟
-𝑆𝑟(Δ𝑥'/Δ𝑦')+1
.
Окончательный вывод:
𝑆
=
𝑆'+𝑆𝑟
1-𝑆'𝑆𝑟
.
(20)
Иными словами, наклоны 𝑆' и 𝑆𝑟 могут считаться аддитивными, лишь если произведением 𝑆'•𝑆𝑟 стоящим в знаменателе, можно пренебречь по сравнению с единицей.
Аддитивны углы наклона
Рис. 28. Угол — удобная мера наклона оси 𝑦' относительно оси 𝑦. Удобство здесь в том. что углы подчиняются простому правилу сложения: θ=θ'+θ𝑟.
Так как наклоны не аддитивны, а значит, неудобны для описания относительного поворота двух систем координат, то как же выбрать лучшую характеристику этого поворота? Ответ: взять угол между осями 𝑦 и 𝑦'. Почему? Потому что углы подчиняются простому закону сложения (рис. 28):
⎛
⎜
⎝
Угол между
𝑂𝐴 и осью 𝑦
⎞
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
Угол между
𝑂𝐴 и осью 𝑦'
⎞
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
Угол между
осями 𝑦' и 𝑦
⎞
⎟
⎠
,
или
θ
=
θ'
+
θ
𝑟
.
(21)
Благодаря выполнению этого соотношения угол является простейшей характеристикой наклона.
Как связаны между собой новая и старая характеристики наклона — угол θ и наклон 𝑆𝑟 оси 𝑦' относительно оси 𝑦? Ответ:
𝑆
𝑟
=
tg θ
𝑟
(22)
(по тригонометрическому определению функции тангенса; см. рис. 29).
Рис. 29. Связь между взаимным наклоном 𝑆𝑟 осей 𝑦' и 𝑦 двух эвклидовых систем координат и углом θ𝑟 между этими осями.
Закон сложения величин наклона в эвклидовой геометрии
Вопрос: как можно расшифровать закон сложения величин наклона, если исходить из того, что эти величины суть тангенсы углов? Ответ:
tg θ
=
tg (θ'+θ
𝑟
)
=
⎛
⎜
⎝
аддитивность
углов
⎞
⎟
⎠
=
tg θ'+tg θ𝑟
1-tg θ'•tg θ𝑟
,
(тригонометрия)
(23)
или
𝑆
=
𝑆'+𝑆𝑟
1-𝑆'•𝑆𝑟
•
⎛
⎜
⎝
тангенсы заменены
на величины наклонов
⎞
⎟
⎠
Сравнивая сложный закон сложения тангенсов (величин наклона) с простым законом сложения углов (θ=θ'+θ𝑟), мы убеждаемся в том, что угол — простейшая характеристика поворота.
Закон сложения скоростей
Рис. 30. Мировая линия пули, изображённая на диаграмме пространства-времени системы отсчёта ракеты. Пуля была выпущена вперёд по движению ракеты со скоростью β'=Δ𝑥'/Δ𝑡' в системе отсчёта ракеты.
Что же будет простейшей характеристикой движения? Во всяком случае, не сама скорость, так как она не подчиняется простому закону сложения. Определим этот закон сложения скоростей. Пусть в системе отсчёта ракеты будет в направлении вперёд по её движению выстрелена пуля со скоростью β' в этой системе (рис. 30):
β'
=
Число метров,
пройденных в
направлении оси 𝑥'
за каждый
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Метр времени 𝑡',
прошедший
по часам
на ракете
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
Δ𝑥'
Δ𝑡'
.
Относительно лаборатории ракета движется со скоростью β𝑟. Чему равна скорость β пули относительно лаборатории, измеренная по решётке часов лабораторной системы отсчёта? Ответ: эта скорость равна
β
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Число метров,
пройденных в
направлении оси 𝑥
за каждый
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Метр времени 𝑡,
прошедший
по часам
в лаборатории
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
Δ𝑥
Δ𝑡
=
[преобразование Лоренца; формулы (16)]
=
(1-β𝑟²)⁻¹/²Δ𝑥'+β𝑟(1-β𝑟²)⁻¹/²•Δ𝑡'
β𝑟(1-β𝑟²)⁻¹/²Δ𝑥'+(1-β𝑟²)⁻¹/²•Δ𝑡'
=
[в числителе и знаменателе произведено
сокращение на множитель
(1-β
𝑟
²)⁻¹
/
²
]
=
Δ𝑥'+β𝑟Δ𝑡'
β𝑟Δ𝑥'+Δ𝑡'
=
числитель и знаменатель
разделены на
Δ
𝑡'
)
=
(Δ𝑥'/Δ𝑡')+β𝑟
β𝑟(Δ𝑥'/Δ𝑡')+1
.
Окончательно
β
=
β'+β𝑟
1+β'β𝑟
(24)
(закон сложения скоростей). Иными словами, скорости не аддитивны. Лишь в предельном случае, когда скорости малы, две скорости β' и β𝑟 могут рассматриваться как аддитивные (с определённой степенью точности), если в знаменателе закона (24) произведением β'β𝑟 можно пренебречь по сравнению с единицей (с той же самой степенью точности, например 1:10 или 1:10⁶). Пример неаддитивности скоростей: пусть в момент выстрела ракета обладает скоростью, равной ¾ скорости света; пусть пуля движется относительно ракеты со скоростью, равной ¾ скорости света. Чему будет равна скорость пули относительно лаборатории? Ответ: не ¾+¾=1,5 скорости света, а
β
=
¾+¾
1+(¾)•(¾)
=
³/₂
²⁵/₁₆
=
24
25
=
0,96
(в метрах лабораторного расстояния за метр светового времени по лабораторным часам). Таким образом, релятивистский закон сложения скоростей (24) гарантирует, что никакой объект не может быть приведён в движение со скоростью света.
Определим параметр скорости таким образом, чтобы он был аддитивным!
Выяснив, что скорость сама по себе не аддитивна, мы предлагаем найти новую меру движения —«параметр скорости» θ, который должен быть аддитивным, т.е.
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Параметр
скорости пули
относительно
лаборатории
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Параметр
скорости пули
относительно
ракеты
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝