Параметр
скорости ракеты
относительно
лаборатории
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
или
θ
=
θ'
+
θ
𝑟
.
(25)
Смысл этого параметра θ будет совершенно иным, чем смысл угла, описывающего поворот. Ни ка какой диаграмме параметр скорости нельзя изобразить в виде обычного угла, и вот по какой простой причине. Расстояния между точками на листе бумаги подчиняются законам эвклидовой геометрии. Напротив, интервалы между событиями в физическом мире определяются лоренцевой геометрией пространства-времени. Но если невозможно запечатлеть движущиеся пули и идущие часы на листе бумаги, то это никоим образом не лишает реальности указанные функционирующие объекты. Так и невозможность изобразить на листе бумаги аддитивность параметра скорости θ не сможет нас смутить, но скорее заставит взглянуть на действительный мир быстрых частиц и физики высокой энергии с тем, чтобы увидеть там активное проявление закона сложения параметра скорости. Этот закон сложения параметра скорости, θ=θ'+θ𝑟, во всех отношениях столь же реален, как и закон сложения углов поворота.
Скорость равна тангенсу гиперболическому от параметра скорости
Как же связаны между собой скорость β и параметр скорости θ? Соответствующая формула аналогична формуле, выражающей связь между наклоном и углом наклона (через тангенс угла), и имеет вид
β
=
th θ
.
(26)
Обозначение th означает «тангенс гиперболический». Функция гиперболического тангенса, как и гиперболических синуса и косинуса (sh θ и ch θ), причём th θ=sh θ/ch θ, обычны в математическом анализе. Таблицы всех этих трёх функций можно найти в любом хорошем математическом справочнике. Их формальное определение дано в табл. 8. Тем не менее нам нет необходимости обращаться к этой таблице и к справочникам; ведь всё, что нам требуется знать о функции th θ, можно без труда получить уже из её определения. А определяется она следующими двумя свойствами:
а) Эта функция должна правильно описывать закон сложения скоростей. Тогда из соотношения
β
=
β'+β𝑟
1+β'β𝑟
и требования аддитивности θ=θ'+θ𝑟 мы получаем закон сложения
th θ
=
th(θ'+θ
𝑟
)
=
th θ+th θ𝑟
1+th θ'•th θ𝑟
(27)
[см. определение (26)].
б) При малых скоростях параметр θ должен переходить в обычную характеристику движения — скорость β. Это требование означает, что функция th θ должна становиться сколь угодно близка к θ при стремлении θ к нулю. Вспомним, что обычный тангенс обычного угла стремится по величине к этому углу в пределе малых углов, если углы измеряются в радианах. Если измерять углы в градусах, то следует ввести поправочный множитель π/180°. Здесь подобным же образом было бы можно измерять параметр скорости и в единицах, аналогичных градусам и минутам, но проще всего те единицы, при которых
th θ
—⟶
малые θ
θ.
Назовём эти единицы «гиперболическими радианами»; они безразмерны.
Как можно найти связь между параметром скорости и скоростью из свойств (а) (аддитивность) и (б) (равенство th θ=θ для малых значений параметра скорости)?
Построение таблицы для тангенса гиперболического
Ответ. 1) Начнём со столь малого параметра скорости θ, что его th θ может быть приравнен θ с требуемой степенью точности. Примем, например,
th 0,01
=
0,01
в качестве первого шага для построения таблицы тангенса гиперболического.
2) Следующий шаг состоит в использовании закона сложения (27):
th 0,02
=
th (0,01+0,01)
=
=
th 0,01+th 0,01
1+th 0,01⋅th 0,01
=
0,01+0,01
1+0,0001
.
(28)
3) На этом этапе следует условиться о том, с какой степенью точности мы будем брать численные значения. Почему бы, например, не принять th 0,02 равным 0,02 точно так же, как мы приняли th 0,01 равным th 0,01? Однако в знаменателе формулы (28) стоит слагаемое 0,0001! Его наличие означает, что число 0,02 отличается от величины th 0,02 приблизительно на 1:10⁴. Условимся же теперь вычислять все значения th θ с точностью до 1:10⁴. Поэтому нам потребуется учесть поправку 0,0001, стоящую в знаменателе. Но если нам понадобилось учитывать такую поправку при вычислении th 0,02, почему бы не учесть её и в th 0,01? Потому что там она была бы ещё меньше. Иными словами, разница между th 0,01 и 0,01 равна величине, которой можно пренебречь, если условиться брать результаты с точностью лишь до 1:10⁴. С этой точностью мы получим в конце концов
th 0,02
=
0,020000
1,0001
=
0,019998
.
4) Найдём теперь значение th 0,04:
th 0,04
=
th (0,02+0,02)
=
=
th 0,02+th 0,02
1+th 0,02⋅th 0,02
=
2•0,019998
1+(0,019998)²
=
=
0,039980
.
Поправка в знаменателе изменяет теперь численную величину результата примерно на 4:10⁴. Тем не менее этот результат верен с точностью около 1:10⁴. Он получен на основании точной формулы (27) в применении к значениям гиперболического тангенса, которые сами были верны с точностью 1:10⁴.
5) Дальнейшие шаги при построении таблицы значений гиперболического тангенса аналогичны предыдущим. Так, зная th 0,04 и th 0,01, мы можем вычислить th 0,05=(th 0,04+0,01). Мы получим далее th 0,1; th 0,2 и th 0,4, а затем th 0,5=(th 0,4+0,1). Аналогично мы вычислим th 1, th 2 и все прочие значения th θ, которые нам потребуются. Так мы получим результаты, подытоженные на рис. 31.
Рис. 31. Связь между параметром скорости θ и самой скоростью β=th θ, получаемая непосредственно из закона сложения th(θ₁+θ₂) =
θ₁+θ₂
1+θ₁•θ₂
как это описано в тексте. Например, пусть пуля выпускается со скоростью β'=0,75 из ракеты, движущейся со скоростью β𝑟=0,75. Требуется найти скорость пули β относительно лабораторной системы. Мы знаем, что аддитивны не скорости, а параметры скорости. По графику для точки 𝐴 находим θ'=θ𝑟=0,973. Сложение даёт θ=θ'+θ𝑟=1,946. Для этого значения параметра скорости находим по графику точку 𝐵 и величину скорости β=0,96. Тот же результат получен другим способом в тексте (стр. 68).
Различие между параметром скорости и обычным углом
Из рис. 31 сразу же видны два свойства параметра скорости, никак не связанные с конкретным выбором чисел. Во-первых, наклон кривой функции th θ относительно θ стремится к единице при малых θ. Это — новое выражение того факта, что скорость β=th θ и параметр скорости θ стремятся друг к другу при стремлении θ→0. Во-вторых, когда параметр скорости стремится к бесконечно большим положительным (или отрицательным) значениям, то скорость β=th θ стремится к плюс (или минус) единице. Другими словами, допустимы любые значения параметра скорости на всём интервале значений от θ→-∞ и до θ→+∞. Различие между «гиперболическими углами» или параметром скорости, область изменения которого неограниченна, и обычными углами очевидно. Обычный угол не приводит ни к чему новому, когда он превысит конечный интервал от 0 до 2π радиан.
Параметр скорости и постоянство скорости света
Как связаны представления о параметре скорости и о законе сложения скоростей с тем элементарным физическим опытным фактом, который привёл физику к пространственно-временной точке зрения? Вот самая непосредственная из возможных связей. Из результатов наблюдений и всего того, что уже в 1905 г. было известно об электромагнитных волнах, Эйнштейн был вынужден заключить, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчёта. Это же можно сказать иначе, переводя на язык мысленных опытов: фотон, выстреленный со скоростью света из быстро движущейся ракеты, движется относительно лаборатории со скоростью, равной всё той же скорости света.