На языке параметра скорости можно сказать, что ракета обладает конечным параметром скорости θ𝑟, тогда как величина параметра скорости фотона (β=1) бесконечна (θ'=∞; см. асимптотическую часть кривой в верхней правой части рис. 31). Прибавьте к бесконечности конечное число, и вы получите снова бесконечность в качестве суммы θ=θ'+θ𝑟. Поэтому скорость фотона в лабораторной системе отсчёта равна β=th θ=th ∞=1, т.е. это снова скорость света. Мы замкнули круг, вновь вернувшись к идее, лежащей в основании теории относительности: скорость света имеет одну и ту же величину во всех системах отсчёта.
Простота описания движения с помощью параметра скорости
Мы пришли к заключению, что естественной характеристикой движения является параметр скорости, подчиняющийся простому закону сложения: θ=θ'+θ𝑟. Но почему же наша интуиция не подсказала нам сразу идеи введения этого параметра? Почему гиперболические углы не знакомы всякому школьнику так же хорошо, как обычные углы? Ответ ка это прост. Обыденный опыт сталкивает нас со всякими углами — и большими, и малыми. Поэтому не найдётся простачка, который стал бы, складывая наклоны 𝑆'=1 (угол в 45°) и 𝑆𝑟=1 (ещё раз 45°), утверждать, что он получит наклон, равный 𝑆=𝑆'+𝑆𝑟=2 (т.е. угол в 63°26', что неверно!). Все знают, что правильный путь — это складывать углы (сумма в нашем примере равна 45°+ 45°=90°, чему соответствует наклон 𝑆=∞). Но обыденный опыт не сталкивает нас со скоростями, близкими к скорости света. Автомобили, реальные ракеты и реальные пули движутся со скоростями, крайне малыми по сравнению со скоростью света. Поэтому и потребовалось долгое время, пока люди не узнали истинной физики пространства-времени. Но теперь, наконец, мы поняли разницу природы закона сложения скоростей [громоздкое уравнение (24)] и закона сложения параметров скорости [простое уравнение (21): θ=θ'+θ𝑟]. Более того, те наблюдения, которые прежде обескураживали (например, равенство величины скорости света во всех системах отсчёта), стали описываться очень просто на языке параметра скорости. К тому же этот параметр, как и всё, что входит вместе с ним в пространственно-временную структуру физики, совершенно необходим. Если вы хотите описать природу физического мира такой, какая она на самом деле у этого четырёхмерного мира, то у вас нет никакого другого выбора, кроме описанных выше идей. Эта железная необходимость становится всё очевиднее по мере того, как в обиход нашей цивилизации, нашей индустрии входят электронные и ядерные установки, а вместе с ними — сверхбыстрые частицы.
Обходного пути нет! Параметр скорости — такой же простой способ для описания скорости движения, как обычный угол — для описания наклона. Но, согласившись с этим выводом, какую выгоду извлечём мы, пытаясь упростить формулы преобразования Лоренца?
У прощение эвклидова преобразования поворота путём введения угла
Для того чтобы сориентироваться в этом вопросе, рассмотрим сначала аналогичную задачу в эвклидовой геометрии на плоскости 𝑥𝑦. Станет ли формула (19), выражающая одну систему координат через другую,
Δ
𝑥
=
(1+𝑆
𝑟
²)⁻¹
/
²
Δ
𝑥'
+
𝑆
𝑟
•
(1+𝑆
𝑟
²)⁻¹
/
²
Δ
𝑦'
,
Δ
𝑦
=-
𝑆
𝑟
(1+𝑆
𝑟
²)⁻¹
/
²
Δ
𝑥'
+
(1+𝑆
𝑟
²)⁻¹
/
²
Δ
𝑦'
,
менее сложной, если выразить относительный наклон 𝑆𝑟 осей 𝑦 и 𝑦' через обычный угол θ𝑟? Ответ: коэффициенты в преобразовании поворота принимают вид
(1+𝑆
𝑟
²)⁻¹
/
²
=
(1+tg²θ
𝑟
)⁻¹
/
²
=
=
⎛
⎜
⎝
cos²θ𝑟+sin²θ𝑟
cos²θ𝑟
⎞
⎟
⎠
⁻¹/²
=
⎛
⎜
⎝
1
cos²θ𝑟
⎞
⎟
⎠
⁻¹/²
=
cos θ
𝑟
.
и
𝑆
𝑟
(1+𝑆
𝑟
²)⁻¹
/
²
=
tg θ
𝑟
•
cos θ
𝑟
=
=
sin θ𝑟
cos θ𝑟
=
sin θ
𝑟
.
Поэтому формулы преобразования переходят в
Δ
𝑥
=
Δ
𝑥'
•
cos θ
𝑟
+
Δ
𝑦'
•
sin θ
𝑟
,
Δ
𝑦
=-
Δ
𝑥'
•
sin θ
𝑟
+
Δ
𝑦'
•
cos θ
𝑟
,
(29)
и мы можем заключить, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наипростейший вид, если коэффициенты в ковариантных преобразованиях выразить через «тригонометрические», или «круговые», функции угла поворота.
Упрощение формул преобразования Лоренца путём введения параметра скорости
Обратимся теперь к формулам преобразования Лоренца, записанным через относительную скорость:
Δ
𝑥
=
(1-β
𝑟
²)⁻¹
/
²
Δ
𝑥'
+
β
𝑟
(1-β
𝑟
²)⁻¹
/
²
Δ
𝑡'
,
Δ
𝑡
=
β
𝑟
(1-β
𝑟
²)⁻¹
/
²
Δ
𝑥'
+
(1-β
𝑟
²)⁻¹
/
²
Δ
𝑡'
.
Как станет выглядеть эта пара уравнений, если мы выразим в ней скорость β𝑟 через «улучшенную» характеристику движения θ𝑟? Ответ таков. Вспомним, что скорость и параметр скорости связаны между собой соотношением
β
𝑟
=
th θ
𝑟
.
Отметим, что коэффициенты в формулах преобразования Лоренца зависят от β𝑟 и тем самым от θ𝑟. Эти коэффициенты равны
(1-β
𝑟
²)⁻¹
/
²
=
(1-th²θ
𝑟
)⁻¹
/
²
(30)
и
β
𝑟
(1-β
𝑟
²)⁻¹
/
²
=
th θ
𝑟
•
(1-th²θ
𝑟
)⁻¹
/
²
.
(31)
Полученные выражения на первый взгляд довольно сложны. Тем не менее они вполне определённы. Мы знаем, как найти величину th θ𝑟 для любого заданного значения θ𝑟 (см. рис. 31 и сопровождающие его рассуждения). Знание величины th θ𝑟 позволяет нам вычислить выражения (30) и (31) с любой желаемой степенью точности для любого наперёд заданного значения параметра скорости. Эти две функции θ𝑟 настолько важны, что каждая из них получила своё собственное название в теории гиперболических функций. Если мы примем стандартные названия для этих функций, то это никоим образом не повлияет на наши возможности определять величины этих функций в любом интересующем нас случае без использования каких-либо руководств или справочников, своими собственными силами. Поэтому мы примем и будем в дальнейшем употреблять следующие стандартные названия: