Пусть второй взрыв произошёл, например, через 5 сек после первого по данным лабораторных часов и на 12 м дальше по коридору. Тогда его временна́я координата равна 𝑡𝐴 = 5 сек, а пространственная 𝑥𝐴 = 12 м.
Дальнейшие взрывы и события также происходят по длине коридора. Данные обоих наблюдателей представлены в табл. 2.
Таблица 2.
Пространственные и временные координаты одних и тех же событий, получаемые двумя наблюдателями, движущимися относительно друг друга. Для простоты значения координат 𝑦 и 𝑧 приняты равными нулю, а ракета считается движущейся в направлении оси 𝑡
Событие
Значения координат, измеренные наблюдателем, находящимся
в покое в лаборатории
(
𝑥
в метрах
,
𝑡
в секундах
)
в ракете (движущийся с нею)
(
𝑥'
в метрах
,
𝑡'
в секундах
)
Опорное событие
0
0
0
0
Событие
𝐴
𝑥
𝐴
𝑡
𝐴
𝑥
𝐴
'
𝑡
𝐴
'
Событие
𝐵
𝑥
𝐵
𝑡
𝐵
𝑥
𝐵
'
𝑡
𝐵
'
Прочие события
…
…
…
…
Первый наблюдатель использует лабораторную систему отсчёта
Второй наблюдатель использует систему отсчёта ракеты
3. Открытие понятия расстояния мифическим студентом подобно открытию в 1905 г. Эйнштейном и Пуанкаре понятия интервала. Интервал, вычисленный по данным измерений одного наблюдателя,
Интервал =
√
(𝑐𝑡
𝐴
)²-(𝑥
𝐴
)²
(2)
в точности равен интервалу, вычисленному по данным измерений другого наблюдателя,
Интервал =
√
(𝑐𝑡
𝐴
')²-(𝑥
𝐴
')²
(3)
даже если фигурирующие в этих вычислениях координаты по отдельности не равны друг другу. Два наблюдателя припишут пространственным и временном координатам событий А, Б, В, … относительно одного и того же опорного события разные значения, но, вычислив эйнштейновские интервалы между этими событиями, они обнаружат, что соответствующие величины совпадают. Эта инвариантность интервала (его независимость от выбора системы отсчёта) вынуждает признать, что время невозможно отделить от пространства. Пространство и время — части единого целого, которое называется пространством-временем. Геометрия пространства-времени в действительности характеризуется четырьмя измерениями. Можно сказать, что «направление временной оси» зависит от состояния движения наблюдателя точно так же, как направление оси 𝑦 землемера зависело от его метода ориентации на «север».
Открытие: интервал инвариантен
В остальной части этой главы мы будем заниматься развитием аналогии между снятием планов в пространстве и взаимным сопоставлением событий в пространстве-времени. Обзор, предвосхищающий наши выводы, представлен в табл. 3. Для того чтобы почувствовать единство пространства и времени, мы обращаемся к способу, помогающему лучше разглядеть ландшафт; для этого нужно посмотреть на него под разными углами. Поэтому мы сравниваем пространственную и временную координаты одного и того же события в двух разных системах отсчёта, движущихся относительно друг друга.
Таблица 3.
Детализация притчи о землемерах, предвосхищающая дальнейший анализ
Притча о землемерах — геометрия
пространства
Физическая параллель—геометрия
пространства-времени
Задача землемера — определить положение точки (ворот А), пользуясь одной из двух систем координат, повёрнутых относительно друг друга
Задача физика — определить положение в пространстве и времени события (взрыв хлопушки А), пользуясь одной из двух движущихся относительно друг друга систем отсчёта
Две системы координат — ориентированная по магнитному компасу и ориентированная по Полярной звезде
Две системы отсчёта — лабораторная система отсчёта и система отсчёта ракеты
Для удобства все землемеры условились измерять положения относительно общего начала (центр городской площади)
Для удобства все физики условились измерять положения событий в пространстве и во времени относительно общего опорного события (взрыв опорной хлопушки)
Анализ результатов, полученных землемером, упрощается, если координаты точки 𝑥 и 𝑦 измерены в одинаковых единицах — метрах
Анализ результатов, полученных физиком, упрощается, если координаты события 𝑥 и 𝑡 измерены в одинаковых единицах — метрах
Взятые по отдельности, координаты 𝑥𝐴 и 𝑦𝐴 ворот А имеют разные значения в двух системах координат, повёрнутых относительно друг друга
Взятые по отдельности, координаты 𝑥𝐴 и 𝑡𝐴 события А имеют разные значения в двух системах отсчёта, равномерно движущихся относительно друг друга
Инвариантность длины. Расстояние (длина) √𝑥𝐴²+𝑦𝐴² от ворот А до городской площади получается одинаковым, если его вычислять по результатам измерений в любой из двух повёрнутых относительно друг друга систем (𝑥𝐴 и 𝑦𝐴 измерены в метрах)
Инвариантность интервала. Интервал √𝑡𝐴²-𝑥𝐴² между событием А и опорным событием получается одинаковым, если его вычислять по результатам измерений в любой из двух систем отсчёта, движущихся относительно друг друга 𝑥𝐴 и 𝑡𝐴 измерены в метрах)
Преобразование поворота. Пользуясь эвклидовой геометрией, землемер может решить следующую задачу: по данным значениям координат 𝑥𝐴' и 𝑦𝐴' ворот А в системе ночного землемера и относительному наклону соответствующих осей найти координаты 𝑥𝐴 и 𝑦𝐴 тех же самых ворот в системе дневного землемера
Преобразование Лоренца. Пользуясь лоренцевой геометрией, физик может решить следующую задачу: по данным значениям координат 𝑥𝐴' и 𝑡𝐴' события А в системе ракеты и скорости ракеты относительно лабораторной системы отсчёта найти координаты того же самого события 𝑥𝐴 и 𝑡𝐴 в лабораторной системе
Притча о землемерах подсказывает нам, что было бы полезно перейти к одинаковым единицам для измерения как пространства, так и времени. Поэтому возьмём в качестве такой единицы метр. В метрах можно измерять и время. Если установить на обоих концах полуметрового стержня по зеркалу, то между этими зеркалами может отражаться взад и вперёд луч световой вспышки. Такое устройство представляет собой часы. Можно сказать, что эти часы издают «тик-так» каждый раз, когда свет возвращается к первому зеркалу. Между всеми последовательными возвращениями свет вспышки проходит путь, в общей сложности равный 1 метру. Мы назовём поэтому промежуток времени между двумя последовательными «тик-так» таких часов 1 метром светового времени или, проще, 1 метром времени. (Проверьте, что 1 секунда приблизительно равна 3⋅10⁸ метрам светового времени).