(𝑠²+2𝑠 𝑑𝑠)
2𝑅² .
Возьмём разность между новым и старым удалением, разделим её на дополнительный путь 𝑑𝑠 и найдём тем самым скорость изменения удаления — «скорость удаления»:
⎛
⎜
⎝
Изменение
удаления
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
«Скорость
удаления»
⎞
⎟
⎠ = =
⎛
⎜
⎜
⎝
Дополнительный
путь, пройденный
путешественниками
⎞
⎟
⎟
⎠ =
(Δ𝑥)нов-Δ𝑥
𝑑𝑠 =- (Δ𝑥)₀
𝑠
𝑅² . (136)
Скорость удаления равна нулю, когда 𝐴 и 𝐵 начинали свой путь от экватора (𝑠=0), и причина этого была проста — пути 𝐴 и 𝐵 были тогда в точности параллельными. Но чем дальше к северу они продвигались, т.е. чем больше становилась величина 𝑠 в уравнении (136), тем быстрее начинали приближаться друг к другу 𝐴 и 𝐵. Такое «ускорение удаления» измеряется отношением
⎛
⎜
⎝
Скорость
удаления
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
«Ускорение
удаления»
⎞
⎟
⎠ = =
⎛
⎜
⎜
⎝
Расстояние от места,
где скорость удаления
была равна нулю
⎞
⎟
⎟
⎠ -(Δ𝑥)₀ 𝑠 = 𝑅² =- (Δ𝑥)₀ . 𝑠 𝑅² (137)
Если бы наши путешественники начали свой путь при вдвое большем расстоянии друг от друга, чем в этом примере [(Δ𝑥)₀], то «ускорение удаления» возросло бы в два раза согласно уравнению (137). Другими словами, истинная мера кривизны поверхности земного шара определяется не самим «ускорением удаления», но «ускорением удаления на единицу первоначального удаления»:
⎛
⎜
⎝
Мера
кривизны
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
«Ускорение
удаления»
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
Первоначальное
удаление
⎞
⎟
⎠ = =
-(Δ)₀/𝑅²
(Δ)₀ =-
1
𝑅² .
Хотя эта величина и мала, но она доступна измерению — она равна — 1/(6,371⋅10⁶ м)² = 2,5⋅10⁻¹⁴ м⁻². Как это похоже на «приливное воздействие» (стр. 239)! Даже размерность одна и та же! Эта аналогия геометрического понятия «кривизны» и гравитационного понятия «приливного воздействия» и предвосхищает эйнштейновское геометрическое истолкование гравитации.
Приливное относительное ускорение в физике тяготения истолковывается как кривизна пространства-времени (геометрия)
Начав так добросовестно двигаться параллельно друг другу и не отклоняясь ни влево, ни вправо, наши путешественники обнаружили по нарушению постоянства расстояния между ними, что они теперь понемногу сближаются друг с другом. Они приписывают это явление существованию некой таинственной «силы тяжести», искривляющей их пути. Они исследуют природу этой «силы тяжести». Повторяя свое путешествие на велосипедах, мотоциклах, легковых автомобилях, грузовиках, они всякий раз обнаруживают одно и то же сокращение первоначального расстояния между друг другом. Им знакомо уравнение Ньютона (Сила) = (Масса) ⋅ (Ускорение) .
По совпадению относительных ускорений для всех видов транспорта они заключают, что сила, обусловленная «тяготением», должна быть прямо пропорциональна массе экипажа.
Но другие исследователи включаются в обсуждение, заранее предупредив, что они проявят гораздо больше осторожности. Они говорят, что гравитационную силу следует записать как произведение:
⎛
⎜
⎝
Сила
тяжести
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Гравитационная
масса объекта
подвергающегося
воздействию
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠ ⋅
⎛
⎜
⎜
⎝
Напряженность
гравитационного
поля
⎞
⎟
⎟
⎠ .
Они подставляют эту силу в ньютоновское уравнение движения, всячески подчеркивая, что фигурирующая там масса — это «инертная масса» подвергающегося воздействию объекта. И они приходят к уравнению
⎛
⎜
⎜
⎝
Инертная масса объекта
подвергающегося
воздействию
⎞
⎟
⎟
⎠ ⋅
⎛
⎜
⎝
Ускорение
⎞
⎟
⎠ = =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Гравитационная
масса объекта
подвергающегося
воздействию
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠ ⋅
⎛
⎜
⎜
⎝
Напряженность
гравитационного
поля
⎞
⎟
⎟
⎠
или (Ускорение) =
(Гравитационная масса)
(Инертная масса) × ×
⎛
⎜
⎝
Напряжённость гравитационного
поля
⎞
⎟
⎠ .
Эти исследователи говорят: «Посмотрите, вы получили одинаковое ускорение для всякого вида транспорта, с которым работали. Это означает, что отношение гравитационной и инертной масс одинаково для всех объектов. Вы сделали великое открытие, касающееся массы».
Всё это время с высоты на них глядел космический путешественник. Он видел все эти автопробеги, следил за множеством измерений сокращения расстояния и слушал по своей системе дальней связи все солидные дискуссии о «гравитации». Он улыбался. Он ведь знал, что речь-то шла не о «гравитации», а о геометрии искривлённого пространства, и все разговоры о равенстве «гравитационной массы» и «инертной массы» — сплошной туман. Ничего, кроме понятия кривизны, не требуется для описания всё увеличивающейся скорости, с которой приближаются друг к другу 𝐴 и 𝐵.
Если Землю окружить цепочкой пробных частиц, то их ускорение в направлении Земли следует понимать как интегральный эффект относительных ускорений всех соседних частиц по направлению друг к другу
Эйнштейн тоже улыбался. Он сказал нам, что ничего, кроме кривизны пространства-времени, не требуется для описания того изменения на один-два миллиметра расстояния между двумя грузиками, расположенными первоначально вокруг Земли с интервалом 25 м и предоставленных самим себе с нулевыми относительными скоростями. Более того, эта кривизна полностью характеризует гравитацию. «Что за нелепое утверждение! — такова бывает первая реакция.— Как могут ничтожные и медленные изменения расстояний между соседними шариками привести к пониманию тех громадных скоростей, с которыми падающие массы ударяются о Землю?» Ответ прост: глобальная структура пространства-времени складывается из множества пригнанных друг к другу локальных инерциальных систем отсчёта. Можно считать, что в начале каждой из этих локальных лоренцевых систем находится по одному из массивных шариков. При одновременном сближении всех соседних грузиков («кривизна») сжимается и общая структура пространства-времени — она стягивается ближе к Земле (рис. 138). Так суммарный эффект множества локальных проявлений кривизны принимает вид гравитации, возбуждаемой в больших масштабах Землёй как целым.
Рис. 138. Локальные кривизны складываются и дают эффект тяготения на больших протяжениях. В инерциальной системе отсчёта, связанной с грузом 𝐴, другой груз 𝐵 за срок 7 сек сокращает первоначальное расстояние до 𝐴 (25 м) на 1 мм (локальная кривизна пространства вблизи 𝐴𝐵). Аналогичное сокращение происходит во всех соседних парах грузов. В результате вся образуемая ими окружность стягивается за 7 сек в отношении 1 мм/25 м = 1/25 000 по сравнению с её первоначальными размерами (относительное изменение длины). Расстояние до центра Земли уменьшается с той же быстротой, т.е. на величину