(
Δ
𝑥)²
-
(
Δ
𝑡)²
=
(
Δ
𝑥')²
-
0²
=
(
Δ
σ)²
,
так что расстояние между событиями в системе отсчёта ракеты равно собственному расстоянию между этими событиями.
б) Снова направьте ось 𝑥 вдоль линии, соединяющей рассматриваемые события в лабораторной системе отсчёта. Сделайте теперь предположение. что существует такая система отсчёта ракеты, в которой оба события происходят в одном и том же месте. Тогда
Δ
𝑥'
=
0
=
Δ
𝑥
ch
θ
𝑟
-
Δ
𝑡
sh
θ
𝑟
,
откуда
th
θ
𝑟
=
β
𝑟
=
Δ𝑥
Δ𝑡
<
1,
что подтверждает правильность предположения о существовании данной системы отсчёта ракеты. Заметьте, что отношение Δ𝑥/Δ𝑡 есть просто та скорость, какой должен обладать в лабораторной системе наблюдатель на ракете, переносящийся от события к событию. Часть а) этого упражнения не содержит такой возможности. Из факта инвариантности интервала следует
(
Δ
𝑡)²
-
(
Δ
𝑥)²
=
(
Δ
𝑡')²
-
0²
=
(
Δ
τ)²
,
так что промежуток времени между этими событиями в данной системе отсчёта ракеты равен интервалу собственного времени между ними. ▲
18. Плоскость обоюдного согласия
Эту задачу можно решить двумя способами: во-первых, путём краткого рассуждения и, во-вторых, путём длинных математических преобразований (!). Рассуждения сводятся к следующему. Плоскость, на которой показания часов лаборатории и ракеты совпадают, должна быть перпендикулярна направлению относительного движения этих систем отсчёта, так как видеть сразу и лабораторные, и ракетные часы синхронизированными друг с другом можно лишь в такой плоскости [см. часть б) упражнения 11]. Однако лабораторная система отсчёта и система ракеты во всех отношениях взаимно равнозначны. Поэтому скорость «плоскости согласия» должна быть одинакова как с точки зрения системы отсчёта ракеты, так и с точки зрения лабораторной системы (разным может быть лишь её направление). Какая промежуточная скорость будет сохранять своё численное значение при переходе от первой системы отсчёта ко второй? Во всяком случае, не β/2. Предмет, движущийся в лабораторной системе со скоростью β/2, будет обладать в системе отсчёта ракеты скоростью, не равной - β/2 (ведь скорости не просто складываются). Однако предмет, движущийся в лабораторной системе так, что его параметр скорости равен θ𝑟/2, будет обладать в системе отсчёта ракеты параметром скорости - θ𝑟/2 (параметры скорости аддитивны). Поэтому скорость движения «плоскости согласия» должна быть равна в лабораторной системе отсчёта β=th ½θ𝑟, если, конечно, такая плоскость существует.
Математические преобразования, дающие тот же результат, состоят в следующем. Положите в преобразованиях Лоренца (36) 𝑡=𝑡'. Исключите затем из них 𝑥 и найдите, чему равно отношение 𝑥/𝑡 — скорость движения плоскости, на которой времена одинаковы. Вы получите (см. табл. 8):
2
sh²
θ
𝑟
𝑥
=
ch
θ
𝑟
-1
=
2
=
th
θ
𝑟
.
𝑡
sh
θ
𝑟
2
sh
θ
𝑟
sh
θ
𝑟
2
2
2
▲
19. Преобразование углов
Обозначим через Δ𝑥' проекцию метрового стержня на ось 𝑥' в системе отсчёта ракеты, а через Δ𝑦' — аналогичную проекцию на ось 𝑦'. Значит, тангенс угла φ' равен tg φ'=Δ𝑥'/Δ𝑦'. В лабораторной системе отсчёта 𝑦-проекция будет оставаться равной прежней 𝑦-проекции в системе ракеты, но 𝑥проекция подвергнется лоренцеву сокращению, согласно выводам упражнения 9. Мы получим
Δ
𝑦
=
Δ
𝑦'
,
где
Δ
𝑦
=
(1
м
)
sin φ'
,
и
Δ
𝑥
=
Δ
𝑥'
√
1-β
𝑟
²
,
где
Δ
𝑥'
=
(1
м
)
cos φ'
,
Отсюда легко вычислить величину тангенса искомого угла в лабораторной системе отсчёта
tg φ
=
Δ𝑦
Δ𝑥
=
tg φ'
√1-β𝑟²
.
Длина метрового стержня, измеренная в лабораторной системе отсчёта, равна
𝐿
=
√
(
Δ
𝑥)²+(
Δ
𝑦)²
.
Подставляя сюда полученные выше значения Δ𝑥 и Δ𝑦, найдём
𝐿
=
√
1-β
𝑟
²
cos²φ'
м
.
Рис. 142. Электрические силовые линии заряженной частицы в системе отсчёта ракеты.
Рис. 143. Электрические силовые линии заряженной частицы в лабораторной системе отсчёта.
Мысленно заменяя электрические силовые линии метровыми стержнями, можно выяснить, как выглядит электрическое поле вблизи заряженной частицы, покоящейся в системе отсчёта ракеты (на рис. 142 изображена картина, наблюдаемая в системе ракеты, а на рис. 143 — картина, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта). Мы считаем, что электрическая сила, действующая на пробный заряд, покоящийся в лабораторной системе отсчёта, пропорциональна плотности электрических силовых линий в том месте, где он находится. Следовательно, на пробные заряды, расположенные вдоль пути движения быстрой заряженной частицы (например, в точке 𝐴 на рис. 143), будет действовать сила, меньшая, чем если бы частица покоилась. В свою очередь на пробные заряды, расположенные в стороне от пути движения быстрой заряженной частицы, будет действовать в момент их наибольшего сближения (например, в точке 𝐵 на рис. 143) сила, превышающая ту, которая действовала бы, если бы частица — источник поля — покоилась. На этом и на подобных ему релятивистских эффектах основывается анализ электрического и магнитного полей в превосходной книге Парселла, выпущенной в издательстве Мак-Гроу Хилл. ▲
20. Преобразование скорости вдоль оси 𝑦
Из условия задачи мы знаем, что для любой пары событий на мировой линии частицы Δ𝑥'=0. Тогда из формул преобразования Лоренца
Δ
𝑦
=
Δ
𝑦'
,
Δ
𝑥
=
Δ
𝑡'
sh
θ
𝑟
,
Δ
𝑡
=
Δ
𝑡'
ch
θ
𝑟
,
откуда можно вычислить компоненты скорости в лабораторной системе отсчёта:
β
𝑦
=
Δ𝑦
Δ𝑡
=
Δ𝑦'
Δ𝑡' ch θ𝑟
=
β𝑦'
ch θ𝑟
,
β
𝑥
=
Δ𝑥
Δ𝑡
=
th