Кроме того, эти ученые предложили вычисление, абсолютно не связанное с геометрией, после чего математический анализ стал отдельной дисциплиной. Она пользовалась алгебраическими понятиями, что позволяло разработать метод, который был бы применим для любого вида функции или задачи.
Несмотря на тяжкую полемику о том, кто раньше изобрел анализ бесконечно малых, подходы Лейбница и Ньютона отличались. Ньютон вычислял производную и первообразную с помощью бесконечно малых приращений, а Лейбниц имел дело напрямую с дифференциалами. С другой стороны, Ньютон всегда работал с производными и интегралами с точки зрения относительного изменения переменных, в то время как Лейбниц использовал в своей работе суммирование членов рядов для нахождения площадей или объемов. Кроме того, Ньютон широко применял ряды для представления функций, а Лейбниц напрямую работал с общим уравнением функции. Кроме того, немецкий ученый занимался формулированием правил анализа, что не интересовало его коллегу из Англии. Если Лейбниц искал подходящие и легко используемые символы записи, то Ньютон не задавался этим вопросом. Сегодня мы применяем форму записи, созданную Лейбницем, несмотря на то что концепция анализа Ньютона более близка современной.
Ньютон изложил свой анализ в нескольких работах. Первая из них — "Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов", написанная в 1669 году, но опубликованная в 1711-м; вторая — "Метод флюксий и бесконечные ряды", законченная в 1671 году, но опубликованная только в 1736-м. В этой работе Ньютон определил свои основные элементы, флюэнты и флюксию. Первые он охарактеризовал как переменные величины, так как рассматривал прямые, плоскости и объемы как непрерывное движение точек, прямых и поверхностей. Относительное изменение этих флюэнт он назвал флюксией. Эти понятия приблизительно соответствуют нашим переменным, функциям и их производным. Если х и у — флюэнты, то их флюксии ученый обозначил как х' и у'. Флюксия флюксии, то есть вторая производная, обозначена x" и y" и так далее. Ньютон также определил момент флюэнты, который обозначил о, как очень маленькое изменение переменной, бесконечно малый интервал изменений.
В третьей работе, "О квадратуре кривых", написанной в 1676 году и опубликованной в 1704-м в качестве приложения к своему труду по оптике, Ньютон частично изменил подход к бесконечно малым, больше приблизившись к интуитивной идее предела.
Посмотрим, как ученый использовал эти элементы для нахождения производной. Возьмем функции у = xn. Ньютон говорит, что если переменная х флюирует, то есть бесконечно мало изменяется до х + o, то функция превращается в (х + o)n. Далее из этого двучлена он получает ряд:
(x+o)n = xn + n · xn-1 · o + n(n-1)/2 · xn-2 · o2 + ...
Если вычесть из данного выражения значение у = хn получится, что приращение к переменной х, то есть о, равносильно приращению к переменной y, то есть:
n · xn-1 · o + n(n-1)/2 · xn-2 · o2 + ...
Если мы проведем преобразование, то получим выражение:
n · xn-1 + n(n-1)/2 · xn-2 · o + ...
Теперь, как говорил сам Ньютон, "пусть эти приращения испарятся": все члены с приращением исчезают, если это значение стремится к нулю. Таким образом, найденная производная равная n · хn-1.
АНАЛИЗ ЛЕЙБНИЦА
После 1675 года в заметках Лейбница уже появляются идеи, которые привели его, по ходу дела серьезно меняясь, к собственному пониманию анализа. Однако похоже, что идеи, которые направили ученого по этому пути, зародились еще раньше. В своем труде "Об искусстве комбинаторики" Лейбниц работал с последовательностями и разностями между их членами. Он исходил, например, из последовательности квадратов 0, 1, 4,9,16, 25,...
Первые разности были 1, 3, 5, 7, 9, ... вторые — 2, 2, 2, 2, 2, ... а третьи все были нулевые. Если взять третью степень, то все четвертые разности были нулевыми, и так далее.
Он убедился, что при сложении первых членов последовательности первых разностей получается следующий член исходной последовательности, то есть при сложении двух первых членов (1 +3 = 4) получается третий член последовательности. Если сложить три первых члена 1 + 3 + 5 = 9, то получается четвертый член, и так далее.
Таким образом, анализ бесконечно малых Лейбница основывается на суммах и разностях членов последовательностей. Сумма дает нам интегральное исчисление, то есть площадь, ограниченную кривой, а разности — производную.
Лейбниц считал, что кривые сформированы из бесконечного числа прямолинейных бесконечно малых отрезков, которые составляют касательные к кривой. То есть для каждой точки у нас есть значение х, значение у и значение отрезка, соответствующего кривой; значит, у нас есть последовательности чисел, к которым можно применить сложение и вычитание.
В первой главе статьи об анализе, опубликованной Лейбницем в 1684 году в журнале "Акты ученых" под названием "Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления", ученый представил свой метод и применил его для решения задачи, поднятой картезианцем Флоримоном де Боном: нахождения кривых с постоянной подкасательной. Рассмотрим его в современной записи.
Подкасательная — это проекция на ось X отрезка от места пересечения касательной с осью X до точки касания; на рисунке на следующей странице это отрезок АВ. Мы хотим, чтобы он был постоянным и был равен с. В этом доказательстве Лейбниц использовал то, что известно как характеристический треугольник, которым также пользовались Паскаль и Барроу, с катетами dx и dy, а в качестве гипотенузы — один из бесконечно малых отрезков, которые составляли кривую.
Отрезок BQ равен у. Поскольку треугольник ABQ подобен характеристическому треугольнику:
dy/dx = y/c,
то
dy/y = dx/c.
После интегрирования этого выражения получается
ln(y) = x/c.
Следовательно, кривые с постоянной подкасательной — это кривые, заданные функцией у = ex/c, то есть экспоненциальные. Лейбниц так находил производную произведения:
"d(xy) — то же самое, что разность между двумя смежными ху, одно из которых равно ху, а другое — (х + dx) (у + dy). Тогда d(xy) = (x + dx)(y + dy)-xy = xdy + ydx + dxdy, и это равно xdy + ydx, если величину dxdy опустить, поскольку она бесконечно мала относительно остальных величин, так как dx и dy, предполагается, бесконечно малы".
Характеристический треугольник Лейбница, в котором появляются касательная к кривой и ее подкасательная.
ПОЛЕМИКА ОБ АНАЛИЗЕ
Сегодня признается, что Ньютон был первым, кто разработал принципы анализа, а Лейбниц первым опубликовал результаты. Они оба пришли к нему независимо, базируясь на одном и том же фундаменте.
Уже в 1674 году Лейбниц мимоходом упоминал в письме Ольденбургу, что он нашел квадратуру круга с помощью открытого им общего метода. А в 1675 году ученый сообщал ему, что нашел метод для решения квадратур, который можно обобщить, но не сказал ничего более подробного. В том же самом году в Париж через Лондон приехал благородный саксонец Вальтер фон Чирнхаус с письмами от Ольденбурга для Лейбница и Гюйгенса. Фон Чирнхаус работал какое-то время с Лейбницем, например над рукописями Паскаля, которые потом пропали, и знаем мы о них теперь только благодаря Лейбницу. Было ясно, что Чирнхаус не испытывал никакого интереса к анализу бесконечно малых, поэтому он ни о чем не мог проинформировать Лейбница. Чирнхаус утверждал: все, сделанное Барроу и другими английскими математиками,— лишь ответвления от того, что привнес Декарт. Чтобы оспорить это мнение, Коллинз, библиотекарь Королевского общества, написал работу примерно на 50 страниц, известную как Historiola, в которой объяснял анализ, разработанный Барроу и Ньютоном. В 1675 году он послал отрывок Чирнхаусу и Лейбницу, хотя у последнего уже был разработан собственный анализ.