Отметим, что рассмотренный в этой задаче подход, основанный на соотношениях неопределённостей, даёт внутренне непротиворечивую картину структуры атома. В отличие от теории Бора, этот подход, в частности, даёт возможность понять, почему атом водорода в основном состоянии обладает сферической симметрией. ▲
9. Атомное ядро и соотношения неопределённостей.
Из опытов Резерфорда по рассеянию α-частиц известно, что атомное ядро имеет диаметр порядка 10-12-10-13 см. Считая, что ядро состоит из нуклонов (т.е. протонов и нейтронов), оценить с помощью соотношения неопределённостей энергию связи нуклона в ядре, т.е. удельную энергию связи.
△ Эта задача во многом похожа на предыдущую. Однако при использовании соотношения неопределённостей здесь появятся отличия, связанные с тем, что нам неизвестен характер сил, удерживающих нуклоны в ядре. Другими словами, неизвестна зависимость потенциальной энергии нуклона от его положения внутри ядра. Поэтому если для атома можно было определить и его размер, и энергию связи электрона, то для ядра использование соотношения неопределённостей позволит только связать между собой аналогичные величины.
Будем считать, что нуклон находится где-то внутри ядра, т.е. неопределённость его положения характеризуется размерами ядра. Тогда соотношение неопределённостей даёт следующую оценку для импульса нуклона:
𝑝
≈
ℏ
𝑟₀
,
(1)
где 𝑟₀ - радиус ядра. Соответствующее такому импульсу значение скорости нуклона массы 𝑀=1,7⋅10-24 г при радиусе ядра 𝑟₀≈10-13 см составляет несколько десятых долей скорости света. Поэтому при оценках нуклон можно считать нерелятивистским. Таким образом, кинетическая энергия 𝐸к нуклона массы 𝑀 в ядре должна быть порядка
𝐸
к
=
𝑝²
2𝑀
=
ℏ²
2𝑀𝑟₀²
≈
10 МэВ
.
(2)
Поскольку нуклон в ядре находится в связанном состоянии, то абсолютное значение его потенциальной энергии должно быть больше 10 МэВ. Таким образом, глубина потенциальной ямы, в которой движется нуклон в ядре, во всяком случае не может быть меньше этого значения. Глубина этой потенциальной ямы даёт грубую оценку энергии связи на один нуклон.
Полученная оценка хорошо согласуется с экспериментальным значением удельной энергии связи, найденным из масс-спектрометрических измерений, которое для большинства ядер равно 8 МэВ/нуклон.
Энергия в 10 МэВ составляет всего 1% от энергии покоя нуклона 𝑀𝑐≈1 ГэВ. Поэтому действительно можно считать, что ядро состоит из отдельных нуклонов, энергия связи которых мала по сравнению с их энергией покоя.
Интересно отметить, что те же доводы, основанные на соотношениях неопределённостей, показывают, что в состав ядра не могут, наряду с протонами, входить электроны, как это предполагалось в одной из ранних моделей атомного ядра, существовавшей до открытия нейтрона. В самом деле, если электрон локализован в области размером порядка 𝑟₀≈10⋅10-13 см, то, как можно убедиться с помощью соотношения (1), он будет ультрарелятивистским. Для оценки его энергии можно воспользоваться выражением 𝐸к=𝑝𝑐, что даёт 𝐸м≈0,2 ГэВ. Это огромное значение энергии электрона совершенно несовместимо с характерным значением энергии связи ядра в расчёте на одну частицу, равным примерно 8 МэВ, не говоря уже о том, что 0,2 ГэВ - это в 400 раз больше, чем энергия покоя электрона, составляющая всего 0,5 МэВ. ▲
10. Принцип эквивалентности.
Шарик массы 𝑚 подвешен внутри пустой цистерны на невесомой нити длиной 𝑙 (рис. 10.1). В начальный момент 𝑡=0 цистерна начинает двигаться в горизонтальном направлении с постоянным ускорением 𝒂. Какое движение будет при этом совершать шарик? Что изменится, если цистерну предварительно заполнить водой?
Рис. 10.1. Цистерна начинает двигаться с постоянным ускорением 𝒂
△ Эта задача очень напоминает первую задачу этого раздела, в которой точка подвеса маятника начинала двигаться с постоянной скоростью и требовалось определить дальнейшее движение маятника. Как мы видели, благодаря принципу относительности решение задачи значительно облегчалось при переходе в систему отсчёта, связанную с точкой подвеса. Здесь принцип относительности нам не поможет, поскольку такая система отсчёта из-за ускоренного движения точки подвеса не является инерциальной. И тем не менее и в данной задаче переход в новую систему отсчёта, где точка подвеса неподвижна, облегчает решение. При этом нужно воспользоваться одним из самых фундаментальных законов природы, так называемым принципом эквивалентности, который лежит в основе релятивистской теории тяготения.
Чтобы сформулировать принцип эквивалентности, рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть закрытая лаборатория, например кабина лифта, движется с постоянным ускорением 𝒂 относительно какой-либо инерциальной системы отсчёта в области пространства, где отсутствует поле тяготения. Тогда все свободные тела в лифте, которые относительно инерциальной системы не имеют ускорения, будут относительно лифта иметь одинаковое ускорение -𝒂. Находящийся в закрытом лифте наблюдатель, который не имеет возможности «выглянуть наружу», по поведению этих тел не сможет решить, движется ли лифт с ускорением 𝒂 или он покоится в однородном поле тяжести, напряжённость которого 𝒈 равна -𝒂. В самом деле, при действии такого поля тяжести все свободные тела в покоящемся лифте будут двигаться с одинаковым ускорением 𝒈=-𝒂.
Такая эквивалентность поля тяжести и ускоренного движения системы отсчёта справедлива для любых механических явлений: все механические явления в движущемся с ускорением лифте происходят точно так же, как и в неподвижном лифте, но находящемся в поле тяжести. Сформулировав этот принцип, Эйнштейн распространил его, так же как и принцип относительности, не только на механические явления, но и на все физические явления вообще.
Рис. 10.2. В системе отсчёта, связанной с цистерной, действует эффективное поле тяжести 𝒈₂
Применение принципа эквивалентности позволяет упростить рассмотрение многих физических явлений, а нашу задачу вообще превращает в тривиальную. Вместо того чтобы рассматривать ускоренно движущуюся цистерну, будем считать, что она неподвижна, но на все тела в ней действует дополнительное гравитационное поле 𝒈₁=-𝒂 (рис. 10.2). Это поле, складываясь с истинным полем тяжести Земли, даёт эффективное поле тяжести, напряжённость которого 𝒈₂=𝒈+𝒈₁=𝒈-𝒂. Вектор 𝒈₂ отклонён от истинной вертикали на угол α₀, тангенс которого определяется соотношением
tg α₀
=
𝑎
𝑔
.