Таким образом, мы нашли условие соскальзывания бруска при любых μ, и α:
𝑎
<
𝑔
sin α-μcos α
cos α+μsin α
.
Пусть теперь ускорение плоскости 𝑎 немного больше 𝑎₀. Тогда при μ=0 брусок перемещался бы вверх вдоль плоскости; при μ≠0 возникает сила трения покоя, направленная вниз вдоль плоскости, и брусок останется неподвижным на плоскости. С ростом 𝑎 увеличивается и сила трения, и когда ускорение становится таким, что сила трения 𝑭 достигает своего максимального значения μ𝑁, брусок начинает скользить вверх. Выясним, при каком ускорении плоскости 𝑎₂ сила трения становится равной μ𝑁 (рис. 7.2в). Составляя, как и раньше, уравнение движения бруска 𝑚𝒈+𝑵+𝑭=𝑚𝒂₂ и проецируя его на те же направления:
𝑚𝑔
sin α
+
μ𝑁
=
𝑚𝑎₂
cos α
,
𝑁
-
𝑚𝑔
cos α
=
𝑚𝑎₂
sin α
,
находим
𝑎₂
=
𝑔
sin α+μcos α
cos α-μsin α
.
Итак, если ускорение плоскости 𝑎>𝑎₂, брусок скользит вверх. Заметим, что 𝑎₂ при μ=ctg α обращается в бесконечность. Это означает, что при μ≥ctg α брусок не будет скользить вверх ни при каком ускорении плоскости.
Собирая вместе полученные результаты, можно записать условие неподвижности бруска на наклонной плоскости:
𝑔
sin α-μcos α
cos α+μsin α
≤
𝑎
≤
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
𝑔
sin α+μcos α
cos α-μsin α
, μ ≤ ctg α
;
∞,
μ ≥ ctg α.
▲
8. Брусок на подвижном клине.
На верхнюю часть клина массы 𝑀, который может без трения перемещаться по горизонтальной поверхности (рис. 8.1), кладут брусок массы 𝑚 и отпускают без начального толчка. Какую горизонтальную скорость приобретает клин к тому моменту, когда брусок соскользнёт до конца? Какой угол с горизонтом составляет вектор скорости бруска 𝒗, если угол при основании клина равен α? Высота клина равна ℎ. Трением между бруском и поверхностью клина пренебречь.
Рис.8.1. В начальный момент брусок и клин неподвижны
△ Проще всего ответить на поставленные вопросы, используя законы сохранения импульса и энергии. Однако в данном случае одних законов сохранения недостаточно. Необходимо ещё использовать кинематическую связь между скоростями клина и бруска, выражающую условие того, что движение бруска происходит именно по поверхности клина.
Рис. 8.2. Скорость бруска относительно клина направлена вдоль поверхности клина
Обозначим горизонтальную и вертикальную составляющие скорости бруска относительно земли через 𝒗𝑥 и 𝒗𝑦, а скорость клина в тот же момент времени через -𝑽. Поскольку при соскальзывании бруска клин движется налево, то горизонтальная составляющая скорости бруска относительно клина равна 𝒗𝑥+𝑽 (рис. 8.2). Полная скорость бруска относительно клина должна быть направлена вдоль его поверхности, поэтому с помощью рис. 8.2 сразу находим
𝑣
𝑦
=
(
𝑣
𝑥
+
𝑉
)
tg α
.
(1)
Это и есть искомое кинематическое соотношение.
Рис. 8.3. Вектор скорости 𝒗 и траектория бруска (пунктир) относительно земли
Вектор скорости бруска относительно земли 𝒗 образует угол β с горизонтом, тангенс которого равен отношению 𝑣𝑦/𝑣𝑥 (рис. 8.3). Поэтому с помощью соотношения (1) имеем
tg β
=
𝑣𝑦
𝑣𝑥
=
⎛
⎜
⎝
1
+
𝑉
𝑣𝑥
⎞
⎟
⎠
tg α
.
(2)
Величины 𝑣𝑥 и 𝑉 можно связать с помощью условия сохранения горизонтальной составляющей импульса системы, которое выражает тот факт, что центр масс системы не перемещается в горизонтальном направлении:
𝑚𝑣
𝑥
=
𝑀𝑉
.
(3)
Соотношение (3) позволяет переписать формулу (2) для tg β в виде
tg β
=
⎛
⎜
⎝
1
+
𝑚
𝑀
⎞
⎟
⎠
tg α
.
(4)
На рис. 8.3 пунктиром показана траектория бруска относительно земли. Если масса бруска много меньше массы клина, т.е. 𝑚/𝑀≪1, то из формулы (4) получаем β≈α. Так и должно быть, ибо в этом предельном случае клин практически не приходит в движение. В другом предельном случае 𝑚/𝑀≫1 угол β≈π/2: лёгкий клин выскальзывает из-под тяжёлого бруска, который падает практически отвесно.
Осталось найти только горизонтальную скорость клина в момент, когда брусок соскользнёт до его основания. Это можно сделать, если воспользоваться ещё и законом сохранения механической энергии. Поскольку трение отсутствует, первоначальная потенциальная энергия бруска целиком превращается в кинетическую энергию бруска и клина:
𝑚𝑔ℎ
=
𝑚(𝑣𝑥²+𝑣𝑦²)
2
=
𝑀𝑉²
2
.
(5)
Подставляя в это уравнение сначала 𝑣𝑦 из выражения (1), а затем 𝑣𝑥 из закона сохранения импульса (3), находим
𝑉²
=
2𝑔ℎ
(𝑀/𝑚)²+(1+𝑀/𝑚)²tg²α+𝑀/𝑚
.
(6)
Рассмотрите сами получающиеся из формулы (6) выражения в предельных случаях 𝑚/𝑀≪1 и 𝑚/𝑀≫1 и объясните результаты. ▲
9. Шарики на длинной нити.
На очень длинной нити подвешен шарик массы 𝑚₁, к которому на нити длиной 𝑙, подвешен шарик массы 𝑚₂, (рис. 9.1). Какую начальную скорость 𝒗₀ в горизонтальном направлении нужно сообщить нижнему шарику, чтобы соединяющая шарики нить отклонилась до горизонтального положения?
Рис. 9.1. Начальное положение нити с шариками
△ Какое значение имеет то обстоятельство, что верхний шарик подвешен на очень длинной нити? Это значит, что он движется практически по горизонтальной прямой, а сама длинная нить остаётся вертикальной. Если это осознать, то дальнейшее решение не должно вызывать принципиальных затруднений. Все действующие на систему внешние силы - сила натяжения верхней нити и силы тяжести, действующие на шарики, - направлены по вертикали, поэтому горизонтальная составляющая полного импульса системы сохраняется. В тот момент, когда шарики окажутся на одинаковой высоте, горизонтальная составляющая 𝑣г скорости второго шарика будет равна скорости первого шарика. Это следует из нерастяжимости соединяющей их нити. Поэтому сохранение горизонтальной составляющей импульса системы можно записать в виде
𝑚₂𝑣₀
=
(𝑚₁+𝑚₂)