Поскольку по условию между доской и плоскостью трение отсутствует, то направленный горизонтально полный импульс системы остаётся без изменения. Так как после прекращения проскальзывания оба тела движутся с одинаковой скоростью 𝑣, то
𝑀𝑣₀
=
(𝑀+𝑚)𝑣
.
(1)
Для применения закона сохранения энергии нужно прежде всего подсчитать работу сил трения, действующих между бруском и доской. Эти силы равны по модулю и противоположно направлены. Сила трения, действующая на брусок, разгоняет его, увеличивая его кинетическую энергию. Работа этой силы положительна. Сила трения, действующая на доску, тормозит её; работа этой силы отрицательна. Очевидно, что относительно земли точка приложения силы трения, действующей на доску, совершает перемещение 𝑠₁ которое больше перемещения точки приложения второй силы трения 𝑠₂ на величину 𝑠 (рис. 11.2). Поэтому суммарная работа сил трения отрицательна и равна -μ𝑚𝑔𝑠.
Рис. 11.2. Перемещение доски 𝑠₁ больше перемещения бруска 𝑠₂ на величину 𝑠
Таким образом, уравнение закона сохранения энергии записывается в виде
(𝑀+𝑚)𝑣²
2
-
𝑀𝑣₀²
2
=
-μ𝑚𝑔𝑠
.
(2)
Выражая 𝑣 из уравнения (1) и подставляя в (2), находим
𝑠
=
1
2
𝑀
𝑀+𝑚
𝑣₀²
μ𝑔
.
(3)
Если вычисленное по формуле (3) значение 𝑠 окажется больше 𝐿, то это и будет означать, что при такой начальной скорости доски 𝑣₀ она выскользнет из-под бруска. Отсюда находим необходимое для этого значение 𝑣₀:
𝑣₀
>
√
2μ𝑔𝐿(1+𝑚/𝑀)
.
(4)
Длиннее оказалось бы решение, основанное на непосредственном применении законов Ньютона. При таком решении прежде всего, определив ускорения тел, пришлось бы написать уравнения, выражающие зависимость от времени скоростей доски и бруска относительно земли. Это дало бы возможность найти момент времени, в который эти скорости окажутся одинаковыми. После этого, написав уравнения, выражающие зависимость положений доски 𝑠₁ и бруска 𝑠₂ от времени (рис. 11.2), можно найти то расстояние 𝑠, на которое переместится брусок относительно доски к моменту прекращения проскальзывания. Проделайте сами указанные выкладки и убедитесь, что они приводят к тому же самому результату (3). ▲
12. Шарик на стержне.
Невесомый стержень с шариком на верхнем конце начинает падать из вертикального положения без начальной скорости (рис. 12.1). Нижний конец стержня упирается в уступ. Какой угол с вертикалью будет составлять скорость шарика в момент удара о горизонтальную плоскость?
Рис. 12.1. Начальное положение стержня
△ Не странно ли, что в условий отсутствуют какие бы то ни было количественные данные, такие как длина стержня и масса шарика? Для начала проанализируем задачу с точки зрения размерности. Найти нужно угол, т.е. величину безразмерную. Если бы искомый угол и зависел от линейных размеров, то только от безразмерного отношения двух длин. Однако рассматриваемая система характеризуется лишь одним таким параметром - длиной стержня. Поэтому искомый угол не может зависеть от длины стержня. По тем же соображениям он не зависит и от массы шарика. Не может он зависеть и от ускорения свободного падения 𝑔, ибо размерность 𝑔 содержит время. Таким образом, результат не зависит от силы тяжести, хотя в отсутствие силы тяжести стержень вообще не падал бы. Ответ должен выражаться числом, которое не зависит от того, производится ли такой опыт на Земле, Луне или любой другой планете.
На идеально гладкой поверхности шарик из неустойчивого положения равновесия падал бы вертикально вниз, а конец стержня скользил бы по поверхности. Уступ препятствует скольжению стержня влево. Если нижний конец начнёт двигаться вправо, то шарик будет падать вертикально вниз, т.е. скорость его направлена по вертикали.
Интереснее случай, когда стержень начинает падать вправо. Шарик движется по дуге окружности до тех пор, пока действующая на него сила реакции стержня не обратится в нуль. Дальнейшее движение до удара о горизонтальную плоскость происходит по параболе, так как на шарик действует только сила тяжести.
Рис. 12.2. Падающий стержень
Найдём сначала угол α, который стержень образует с вертикалью в тот момент, когда сила реакции стержня обращается в нуль. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на направление к центру окружности (рис. 12.2):
𝑚𝑣₁²
𝑙
=
𝑚𝑔
cos α
(1)
(𝑙 - длина стержня). Входящую в (1) скорость шарика 𝑣₁ можно выразить через угол α с помощью закона сохранения энергии:
𝑚𝑔𝑙
(1-cos α)
=
𝑚𝑣₁²
2
.
(2)
Подставляя 𝑣₁² из (2) в (1), получим уравнение для определения α, которое даёт cos α=2/3. Таким образом, свободное движение шарика начинается на высоте 2𝑙/3 со скоростью 𝑣₁=√2𝑔𝑙/3. Горизонтальная проекция скорости шарика
𝑣
г
=
𝑣₁
cos α
=
2
3
√
2𝑔𝑙/3
(3)
в дальнейшем остаётся неизменной.
Рассмотрим теперь момент удара шарика о горизонтальную плоскость. Модуль скорости 𝒗 в этот момент будет таким же, как при свободном падении с высоты 𝑙: 𝑣=√2𝑔𝑙 Направление скорости проще всего найти, выражая синус угла φ, образуемого вектором скорости 𝒗 с вертикалью (рис. 12.2), как отношение 𝑣г/𝑣:
sin φ
=
𝑣г
𝑣
=
2
3
√
3
=
0,385
,
откуда
α=22°40'
.
Если бы требовалось определить не только угол φ, но ещё и скорость или место падения шарика на плоскость, то было бы необходимо задать длину стержня 𝑙. Отметим, что разобранная задача имеет много общего с широко известной задачей о соскальзывании шайбы с полусферы или полуцилиндра. ▲
13. Мёртвая петля.
Рис. 13.1. «Мёртвая петля»
Небольшое тело скользит без трения по наклонному жёлобу, который затем переходит в круговую «мёртвую петлю» радиуса 𝑅 (рис. 13.1). С какой минимальной высоты ℎ должно спускаться тело без начальной скорости, чтобы оно не оторвалось от желоба? Какова должна быть начальная высота для того, чтобы тело смогло преодолеть «мёртвую петлю» с симметрично вырезанной верхней частью (рис. 13.2)?
Рис. 13.2. «Мёртвая петля» с вырезом
△ Движение тела под действием одной лишь силы тяжести, как известно, происходит по параболической траектории. Поэтому для движения по круговому жёлобу, расположенному в вертикальной плоскости, кроме силы тяжести на тело должны действовать и другие силы. В отсутствие трения такой силой может быть только сила реакции 𝑵 желоба, направленная по нормали к его поверхности (рис. 13.3). Очевидно, что тело не отрывается от желоба, пока эта сила не равна нулю. Если происходит отрыв тела от желоба, то в точке отрыва сила 𝑵 обращается в нуль. После отрыва от желоба движение тела происходит только под действием силы тяжести и тело движется по параболе.