Рис. 13.3. Силы, действующие на тело
Предположим, что тело, не отрываясь, движется по жёлобу, и вычислим силу реакции 𝑵 желоба в произвольной точке, положение которой определяется углом α (рис. 13.3). Составим уравнение второго закона Ньютона для этой точки:
𝑚𝒈
+
𝑵
=
𝑚𝒂
.
(1)
Для нахождения модуля силы 𝑵 спроецируем уравнение (1) на радиальное направление. Поскольку нормальная составляющая ускорения равна 𝑣²/𝑅, из уравнения (1) имеем
𝑚𝑔
cos α
+
𝑁
=
𝑚𝑣²
𝑅
,
(2)
откуда
𝑁
=
𝑚𝑔
⎛
⎜
⎝
𝑣²
𝑔𝑅
-
cos α
⎞
⎟
⎠
.
(3)
В этом выражении скорость 𝑣 тоже зависит от угла α, и её нужно найти для определения 𝑁. Это можно сделать, используя проекцию уравнения (1) на касательное направление. Однако такой путь требует умения интегрировать. Поэтому для нахождения скорости удобнее использовать закон сохранения механической энергии.
Поскольку сила реакции желоба в любой точке перпендикулярна скорости тела и, следовательно, работы не совершает, полный запас механической энергии остаётся неизменным. В начальной точке тело обладает только потенциальной энергией, равной 𝑚𝑔ℎ. В рассматриваемой точке механическая энергия складывается из кинетической энергии 𝑚𝑣²/2 и потенциальной энергии 𝑚𝑔𝑅(1+cos α) (рис. 13.3). Поэтому
𝑚𝑔ℎ
=
𝑚𝑣²
2
+
𝑚𝑔𝑅
(1+cos α)
,
(4)
откуда
𝑣²
=
2𝑔𝑅
⎛
⎜
⎝
ℎ
𝑅
-1-
cos α
⎞
⎟
⎠
.
(5)
Подставляя найденное значение скорости в формулу (3), находим силу реакции 𝑁:
𝑁
=
𝑚𝑔
⎛
⎜
⎝
2
ℎ
𝑅
-2-
3cos α
⎞
⎟
⎠
.
(6)
Из выражения (6) видно, что наибольшее значение сила 𝑁 имеет в нижней точке желоба, которой соответствует α=π, cos α=-1:
𝑁
max
=
𝑚𝑔
⎛
⎜
⎝
2ℎ
𝑅
+
1
⎞
⎟
⎠
.
(7)
Из (7) следует, что сила, с которой тело давит на жёлоб в нижней точке, больше, чем сила тяжести 𝑚𝑔. Только в том случае, когда начальная высота ℎ равна нулю (т.е. тело просто лежит в нижней точке желоба), оно давит на жёлоб с силой, равной 𝑚𝑔.
Из выражения (6) также видно, что сила 𝑁 монотонно убывает по мере подъёма тела по жёлобу и достигает наименьшего значения в высшей точке, которой соответствует α=0, cos α=1:
𝑁
min
=
𝑚𝑔
⎛
⎜
⎝
2ℎ
𝑅
-
5
⎞
⎟
⎠
.
(8)
Если тело не отрывается от желоба в верхней точке, то оно не оторвётся и ни в какой другой. Поэтому формула (8) позволяет найти ту минимальную начальную высоту ℎmin, при которой тело совершает полный оборот, не отрываясь от желоба. Полагая в (8) 𝑁min=0, находим
ℎ
min
=
5𝑅
2
.
(9)
Рис. 13.4. В разрыве «петли» между точками 𝐴 и 𝐵 тело движется по параболе
Рассмотрим теперь движение тела по петле с вырезом. Для того чтобы тело могло совершить «мёртвую петлю», в этом случае необходимо, чтобы, сорвавшись с края выреза в точке 𝐴 и пролетев часть пути по параболе под действием только силы тяжести, оно попало бы как раз на продолжение желоба в точку 𝐵 (рис. 13.4). Движение после отрыва от желоба происходит по закону
𝒓
=
𝒗𝑡
+
𝒈𝑡²
2
,
(10)
если начало отсчёта времени 𝑡 и положения 𝒓 выбраны в момент отрыва и в точке отрыва. Так как в точке отрыва 𝐴 скорость 𝒗 направлена по касательной к жёлобу, то, проецируя уравнение (10) на горизонтальное (𝑥) и вертикальное (𝑦) направления и требуя, чтобы траектория проходила через точку 𝐵 (траектория 1 на рис. 13.4), получим
2𝑅
sin φ
=
𝑣
cos φ⋅𝑡
,
0
=
𝑣
sin φ⋅𝑡
-
𝑔𝑡²
2
.
(11)
Находя 𝑡 из второго уравнения и подставляя в первое, получаем
𝑣
=
𝑔𝑅
cos φ
.
(12)
Именно такой скоростью должно обладать тело в момент отрыва, чтобы оно попало в точку 𝐵.
Теперь обратим внимание на то, что формула (12) была получена только из кинематических соображений при рассмотрении свободного полёта тела от точки 𝐴 к 𝐵. Поэтому необходимо проверить, что при такой скорости в точке 𝐴 тело действительно сможет дойти до неё, двигаясь по жёлобу. Другими словами, нужно убедиться, что при такой скорости тело оказывает давление на жёлоб, т.е. вычисляемая по формуле (3) при α=φ сила 𝑁 больше нуля. Подставляя 𝑣² из (12) в формулу (3), получаем
𝑁
=
𝑚𝑔
⎛
⎜
⎝
1
cos φ
-
cos φ
⎞
⎟
⎠
.
Это выражение неотрицательно при любых φ от 0 до π/2, которые только и представляют интерес. Скорость в точке 𝐴 связана с искомой начальной высотой ℎ соотношением (5), в котором, разумеется, угол α следует заменить на φ:
𝑣²
=
2𝑔𝑅
⎛
⎜
⎝
ℎ
𝑅
-1-
cos φ
⎞
⎟
⎠
.
(13)
Приравнивая правые части выражений (12) и (13), находим
ℎ
=
𝑅
⎡
⎢
⎣
1+
cos φ
+
1
2 cos φ
⎤
⎥
⎦
.
(14)
Эта формула даёт то значение начальной высоты ℎ, при котором тело преодолеет мёртвую петлю с вырезом именно так, как нужно, - покинув жёлоб в точке 𝐴, вновь коснётся его как раз в точке 𝐵. Касание желоба в точке 𝐵 произойдёт без удара, так как скорость тела при движении по параболе в этой точке будет направлена по касательной к жёлобу.
Если начальная высота будет меньше, чем значение, даваемое формулой (14), то, даже если тело дойдёт по жёлобу до точки 𝐴, дальше оно полетит по параболе 2 на рис. 13.4 и ударится о жёлоб ниже точки 𝐵. Если же начальная высота будет больше, чем нужно, то тело вообще вылетит из желоба через разрез, двигаясь по параболе 3.
Исследуем зависимость необходимой начальной высоты ℎ от угла φ, характеризующего вырез. Как видно из формулы (14), при φ=0, т.е. при отсутствии выреза, ℎ=5𝑅/2, что совпадает с минимальной начальной высотой (9), которая требуется для преодоления замкнутой петли. С увеличением угла φ начальная высота убывает, достигая минимума, равного ℎ=(1+√𝑅), при φ=π/4. Действительно, зависящие от φ слагаемые в формуле (14) cos φ+1/(2 cos φ) можно записать в виде
1
√2
⎛
⎜
⎝
𝑥
+
1
𝑥
⎞
⎟
⎠
,
где через 𝑥 обозначено √2cos φ. Но 𝑥+1/𝑥 имеет минимум, равный двум, при 𝑥=1, откуда и получаются приведённые значения минимальной высоты ℎ и угла φ=π/4. При дальнейшем увеличении угла φ высота ℎ монотонно возрастает и стремится к бесконечности при φ→π/2 (рис. 13.5). При φ=π/3, как легко убедиться, высота ℎ снова равна 5𝑅/2. Таким образом, если угол выреза меньше π/3, необходимая начальная высота меньше, чем при замкнутом жёлобе.