𝑣
𝑥
=
-
ω𝑙
2
,
𝑎
𝑥
=
0
;
𝑣
𝑦
=
0
,
𝑎
𝑦
=
-
ω²𝑙
.
(9)
В точке 𝐴 скорость вспомогательного движения 𝑣=ω𝑙/2, а ускорение направлено по нормали к траектории и равно по модулю 𝑎=ω²𝑙. Так как ускорение связано с радиусом кривизны траектории 𝑅 соотношением 𝑎=𝑣²𝑅 то для радиуса кривизны эллипса в точке 𝐴 получаем
𝑅
=
𝑣²
𝑎
=
𝑙
4
.
(10)
Таким образом, дугу эллипса вблизи точки 𝐴 можно рассматривать как часть окружности радиусом 𝑙/4, показанной штриховой линией на рис. 14.3.
Рис. 14.3. Радиус кривизны эллипса в точке 𝐴 равен 𝑙/4
Подставим найденные значения скорости движения шарика 𝑣₁ из формулы (5) и радиуса кривизны 𝑅 из (10) в уравнение второго закона Ньютона (3). В результате для силы натяжения нити найдём
𝑅
=
2𝑚𝑣₀²
𝑙
-
5𝑚𝑔
.
(11)
Рис. 14.4. Ускорение каждого из шариков представляет собой сумму ускорения 𝒂₀ середины нити и ускорений 𝒂₁' и 𝒂₂' связанных с движением по окружности
Силу натяжения нити 𝑇 при её вертикальном положении можно найти и короче, не определяя радиуса кривизны траектории. Для этого достаточно сообразить, что оба шарика участвуют в сложном движении: движение по окружности радиуса 𝑙/2 вокруг центра нити складывается с движением этого центра по вертикали. Поэтому ускорения шариков 𝒂₁ и 𝒂₂ равны суммам ускорений 𝒂₁' и 𝒂₂', связанных с движением по окружности, и ускорения 𝒂₀ центра нити. При вертикальном положении нити все эти ускорения направлены по вертикали (рис. 14.4). Модули ускорений 𝒂₁' и 𝒂₂' одинаковы и равны 𝑣₁²/(𝑙/2) Нижний шарик всё время движется по горизонтали, поэтому при вертикальном положении нити его полное ускорение 𝒂₂ равно нулю. Из рис. 14.4 видно, что при этом 𝑎₀=𝑎₂'=𝑣₁²/(𝑙/2). Поэтому ускорение верхнего шарика
𝑎₁
=
𝑎₁'
+
𝑎₀
=
4
𝑣₁²
𝑙
.
(12)
Записывая уравнение второго закона Ньютона для верхнего шарика
𝑇
+
𝑚𝑔
=
𝑚𝑎₁
и подставляя сюда ускорение 𝑎₁ из формулы (12) и скорость 𝑣₁ из формулы (5), приходим к прежнему выражению (11) для силы натяжения нити.
Из формулы (11) следует, что сила натяжения нити не обратится в нуль (𝑇>0), если начальная скорость шарика 𝑣₀ удовлетворяет условию
𝑣₀²
≥
2,5𝑔𝑙
(13)
Выясним теперь, при каком условии нижний шарик не будет отрываться от поверхности, В начальный момент на неподвижный шарик действует сила реакции поверхности, равная 𝑚𝑔. При движении другого шарика вверх, когда нить образует некоторый угол с горизонтом, эта сила убывает, так как появляется вертикальная составляющая силы натяжения нити. Для того чтобы шарик не оторвался от поверхности, необходимо, чтобы вертикальная составляющая силы натяжения не достигала бы значения, равного 𝑚𝑔, даже при вертикальном положении нити. Таким образом, шарик не оторвётся, если вычисляемое по формуле (11) значение 𝑇 не превышает 𝑚𝑔:
2𝑚𝑣₀²
𝑙
-
5𝑚𝑔
≤
𝑚𝑔
,
откуда для максимального допустимого значения начальной скорости получаем
𝑚𝑣₀²
<
3𝑔𝑙
(14)
Подведём итоги. Если начальная скорость шарика 𝑣₀ лежит в интервале
2,5𝑔𝑙
<
𝑚𝑣₀²
<
3𝑔𝑙
то нить при движении шариков всё время натянута, а нижний шарик скользит по поверхности стола. Верхний шарик опишет половину эллипса (рис. 14.2) и ударится о поверхность. Перед ударом его скорость по модулю равна 𝑣₀ и направлена вертикально вниз. Если удар о поверхность абсолютно упругий, то эта скорость изменит направление на противоположное и шарик опишет ту же траекторию в обратном направлении. ▲
15. Стержень с шариками.
На идеально гладкой горизонтальной поверхности вертикально стоит гантель, представляющая собой два одинаковых шарика, соединённых невесомым стержнем длины 𝑙. Нижнему шарику мгновенно сообщают скорость 𝑣₀ в горизонтальном направлении (рис. 15.1). При каких значениях 𝑣₀ шарик будет скользить, не отрываясь от плоскости? Какова будет скорость верхнего шарика в момент его удара о горизонтальную поверхность?
Рис. 15.1. Начальное положение гантели
△ На все поставленные в условии вопросы гораздо легче ответить, если рассматривать движение гантели в системе отсчёта, где её центр масс движется по вертикали. Очевидно, что такая система отсчёта движется относительно лабораторной системы отсчёта с постоянной скоростью 𝑣₀/2, направленной горизонтально, и тоже является инерциальной. В этой системе отсчёта скорости шариков в начальный момент равны 𝑣₀/2 и направлены горизонтально в противоположные стороны (рис. 15.2).
Рис. 15.2. Скорости шариков в начальный момент в системе отсчёта, движущейся вправо со скоростью 𝑣₀/2
Выясним, при каком условии нижний шарик оторвался бы от поверхности. Ясно, что в этом случае сила реакции поверхности равна нулю, и, следовательно, гантель падает с ускорением свободного падения. Поскольку гантель ещё и вращается вокруг центра масс, то нижний шарик имеет связанное с этим вращением центростремительное ускорение 𝑎ц, направленное вверх:
𝑎
ц
=
(𝑣₀/2)²
𝑙/2
=
𝑣₀²
2𝑙
.
(1)
Шарик оторвётся от поверхности, если 𝑎ц>𝑔. В противоположном случае (𝑎ц<𝑔) шарик не отрывается. Для этого его скорость должна удовлетворять условию
𝑣₀²
<
2𝑔𝑙
.
(2)
Для нахождения скорости верхнего шарика в момент удара можно воспользоваться законом сохранения энергии. В этот момент во введённой системе отсчёта его скорость 𝑣₁ направлена вертикально вниз, а скорость скользившего по поверхности шарика обращается в нуль (рис. 15.3). Действительно, в этой системе отсчёта центр масс падает по вертикали. В момент падения гантели на поверхность стержень, соединяющий шарики, расположен горизонтально, поэтому горизонтальные составляющие скоростей всех его точек, в том числе середины и концов, в момент падения равны нулю.
Рис. 15.3. Скорости шариков в момент падения гантели на горизонтальную плоскость в той же системе отсчёта
Таким образом, закон сохранения энергии во введённой системе отсчёта можно записать в виде
𝑚𝑣₁²
2
=
𝑚𝑔𝑙
+
2
𝑚(𝑣₀/2)²
2
,
(3)
откуда
𝑣₁²
=
2𝑔𝑙
+
𝑣₀²
2
.
(4)
В лабораторной системе отсчёта скорость 𝑣 падающего шарика в момент удара определяется выражением