𝑣²
=
𝑣₁²
+
𝑣₀²
4
=
2𝑔𝑙
+
3𝑣₀²
4
.
(5)
Рис. 15.4. Скорости шариков в лабораторной системе отсчёта
Направление этой скорости, как видно из рис. 15.4, составляет угол α с вертикалью, тангенс которого равен отношению 𝑣₀/2 к 𝑣₁
tg α
=
𝑣₀/2
𝑣₁
=
𝑣₀/2
√2𝑔𝑙+𝑣₀²/2
=
1
2√½+2𝑔𝑙/𝑣₀²
.
(6)
Подчеркнём, что удачный выбор системы отсчёта при решении этой задачи позволил обойтись, по существу, всего одной простой формулой (3), выражающей закон сохранения энергии. ▲
16. Парадокс кинетической энергии.
Игрушечный автомобиль с полностью заведённой пружиной может разогнаться до скорости 𝑣. Пренебрегая потерями энергии на трение, можно считать, что потенциальная энергия заведённой пружины 𝑊 целиком превратилась в кинетическую энергию игрушки. Рассмотрим этот же процесс в другой инерциальной системе отсчёта, которая движется со скоростью 𝑣 относительно Земли навстречу игрушечному автомобилю. В этой системе отсчёта окончательная скорость игрушки равна 2𝑣, т.е. вдвое больше, а её кинетическая энергия в четыре раза больше, т.е. равна 4𝑊. Так как в этой системе отсчёта автомобиль с самого начала имел кинетическую энергию 𝑊, то в результате раскручивания пружины его кинетическая энергия возросла на 3𝑊, а не на 𝑊, как в исходной системе отсчёта. Между тем потенциальная энергия заведённой пружины в обоих случаях равна 𝑊! Объясните этот парадокс.
△ Парадокс возникает потому, что в приведённых рассуждениях не учитывалась кинетическая энергия Земли и её изменение при взаимодействии колёс игрушки с дорогой. Если же это изменение учесть аккуратно, то никакого парадокса вообще не возникает и закон сохранения энергии, разумеется, оказывается выполненным.
Рассмотрим сначала систему отсчёта, в которой Земля неподвижна. В этой системе отсчёта до разгона автомобиля полный импульс равен нулю. При разгоне автомобиля он приобретает скорость 𝑣, а Земля приобретает скорость 𝑉, направленную противоположно (𝑉<0). Полный импульс системы остаётся неизменным, поэтому
𝑚𝑣
+
𝑀𝑉
=
0,
(1)
где 𝑚 - масса игрушки, 𝑀 - масса Земли.
Рис. 16.1. Разгоняясь, заводная игрушка сообщает Земле не только поступательное движение со скоростью 𝑉 но и вращение с угловой скоростью ω
Так как действующая на Землю со стороны колёс игрушки сила не проходит через центр Земли, то кроме поступательного движения со скоростью 𝑉 Земля приходит также и во вращение с некоторой угловой скоростью ω (рис. 16.1). Забудем пока об этом вращении Земли и будем считать, что Земля движется только поступательно.
При раскручивании пружины её потенциальная энергия 𝑊 превращается в кинетическую энергию игрушки и Земли:
𝑊
=
𝑚𝑣²
2
+
𝑀𝑉²
2
.
(2)
Выражая 𝑉 из уравнения (1) и подставляя в (2), находим
𝑊
=
𝑚𝑣²
2
⎛
⎜
⎝
1
+
𝑚
𝑀
⎞
⎟
⎠
.
(3)
Так как масса игрушки 𝑚 неизмеримо меньше массы Земли (𝑚/𝑀≪1), то, как видно из формулы (3), практически вся энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки.
Теперь рассмотрим тот же процесс с точки зрения второй системы отсчёта, в которой скорость игрушки и Земли сначала равна 𝑣. Полный импульс в этой системе отсчёта равен (𝑚+𝑀)𝑣 После разгона скорость игрушки равна 2𝑣, а скорость Земли обозначим через 𝑉₁. На основании закона сохранения импульса
𝑚(2𝑣)
+
𝑀𝑉₁
=
(𝑚+𝑀)𝑣
.
(4)
Кинетическая энергия игрушки после разгона равна 𝑚(2𝑣)²/2, а кинетическая энергия Земли есть 𝑀𝑉₁²/2. Изменение полной кинетической энергии
Δ
𝐸
=
𝑚(2𝑣)²
2
+
𝑀𝑉₁²
2
-
(𝑚+𝑀)𝑣²
2
.
(5)
Выразим 𝑉₁ из уравнения (4) и подставим в (5):
Δ
𝐸
=
3
𝑚𝑣²
2
+
𝑀
2
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
1-
𝑚
𝑀
⎞²
⎟
⎠
𝑣²
-
𝑣²
⎤
⎥
⎦
.
(6)
После простых алгебраических преобразований выражение (6) приводится к виду
Δ
𝐸
=
𝑚𝑣²
2
⎛
⎜
⎝
1-
𝑚
𝑀
⎞
⎟
⎠
.
(7)
Сравнивая правую часть (7) с формулой (3), видим, что и в этом случае изменение кинетической энергий всей системы равно потенциальной энергии пружины 𝑊.
Изменение кинетической энергии игрушки при разгоне в этой системе отсчёта действительно в три раза больше, чем изменение этой энергии в системе отсчёта, связанной с Землёй. Однако теперь изменение кинетической энергии Земли такого же порядка, что и изменение энергии игрушки, в отличие от изменения энергии Земли в исходной системе отсчёта, где оно было ничтожным. В новой системе отсчёта колеса игрушки при разгоне тормозят движение Земли, и её кинетическая энергия убывает. Увеличение кинетической энергии игрушки в этой системе отсчёта происходит не только за счёт потенциальной энергии пружины, но и за счёт уменьшения кинетической энергии Земли.
Разобранный пример наглядно показывает, с какой осторожностью нужно подходить к вопросу о том, что существенно в рассматриваемом явлении, а чем можно пренебречь. Использовать можно любую систему отсчёта, и при точном решении задачи выбор системы отсчёта безразличен. Однако при нахождении приближённого решения пренебрежения, допустимые в одной системе отсчёта, могут оказаться совершенно непригодными в другой. Так, в рассмотренном примере можно было пренебрегать изменением кинетической энергии Земли и считать, что изменение энергии автомобиля равно энергии пружины при использовании системы отсчёта, связанной с Землёй. Если пользоваться другой системой отсчёта, то и при приближённом решении пренебрегать изменением кинетической энергии Земли нельзя, несмотря на то, что изменение скорости Земли, как легко убедиться, одинаково и в той, и в другой системе отсчёта.
Обсудим теперь, что изменится в рассуждениях, если учитывать вызываемое игрушкой вращение Земли. В правой части формулы (2) кроме кинетической энергии поступательного движения Земли будет присутствовать ещё и кинетическая энергия вращения Земли. Она будет такого же порядка величины, что и кинетическая энергия поступательного движения Земли. Поэтому в системе отсчёта, где Земля была неподвижной, ею, как и энергией поступательного движения Земли, можно пренебречь и считать, что вся потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки.
Во второй системе отсчёта (где скорости игрушки и Земли сначала равны 𝑣) кинетическая энергия вращения Земли будет такой же, как и в первой системе отсчёта, поскольку приобретённая Землёй угловая скорость ω одинакова во всех инерциальных системах отсчёта. Поэтому, в отличие от кинетической энергии поступательного движения Земли, энергией вращения можно пренебречь и во второй системе отсчёта. ▲