17. Фантастический космический проект.
Хорошо известно, что для совершения межпланетного путешествия находящемуся на поверхности Земли космическому кораблю необходимо сообщить начальную скорость 11,2 км/с (вторая космическая скорость). Однако в случае запуска космического корабля не с поверхности Земли, а через туннель, прорытый насквозь через центр Земли, получается потрясающий результат. Оказывается, что космическому кораблю, свободно падающему в таком туннеле, достаточно сообщить в тот момент, когда он проходит через центр Земли, дополнительную скорость всего лишь в 5,8 км/с, что составляет лишь 52 % от второй космической скорости. Тогда при выходе из туннеля он будет иметь скорость как раз 11,2 км/с и сможет совершить космическое путешествие. Это значит, что для запуска одного и того же корабля потребуется меньшая ракета и расход топлива будет менее значительным. Объяснить, почему возможен такой выигрыш.
△ Прежде всего выясним, какую скорость приобретёт ракета при свободном падении сквозь туннель до центра Земли. Это можно сделать с помощью закона сохранения энергии, только сначала нужно выяснить, как различаются между собой значения потенциальной энергии на поверхности Земли и в её центре.
Будем считать, что Земля представляет собой сплошной однородный шар. Выясним, как действующая на тело сила тяжести зависит от его положения в туннеле. Очевидно, что в центре Земли эта сила равна нулю. Это непосредственно следует из симметрии картины. Найти силу тяжести в произвольной точке можно точно таким же способом, каким определяется напряжённость электростатического поля внутри равномерно заряженного шара.
Рис. 17.1. Сила тяжести в точке 𝐴 равна силе притяжения к заштрихованной части земного шара
Разобьём мысленно земной шар на тонкие сферические концентрические слои (рис. 17.1). По принципу суперпозиции полная сила, действующая на тело в туннеле, равна векторной сумме сил, действующих на него со стороны отдельных слоёв. Легко убедиться в том, что сила тяготения, действующая со стороны любого слоя на тело, находящееся внутри этого слоя, равна нулю. Это сразу видно из построения, показанного на рис. 17.2. Части оболочки с массами 𝑚₁ и 𝑚₂ притягивают тело массы 𝑚 с силами, пропорциональными этим массам и обратно пропорциональными квадратам расстояний 𝑟₁ и 𝑟₂. Но сами массы 𝑚₁ и 𝑚₂, как видно из рисунка, пропорциональны квадратам соответствующих расстояний. В результате силы тяготения, действующие со стороны выделенных участков сферического слоя, уравновешиваются, что и доказывает сделанное утверждение. Именно таким рассуждением отсутствие силы тяготения внутри сферической оболочки было установлено ещё Ньютоном.
Рис. 17.2. Силы тяготения, действующие на массу 𝑚 со стороны участков 𝑚₁ и 𝑚₂, уравновешиваются
Таким образом, на тело в туннеле в точке 𝐴 (рис. 17.1) действует сила тяжести только со стороны заштрихованного шара, на поверхности которого находится это тело. Так как масса заштрихованного шара пропорциональна кубу его радиуса 𝑟, а сила тяготения пропорциональна массе (т.е. 𝑟³) и в то же время обратно пропорциональна квадрату радиуса, то эта сила пропорциональна радиусу шара: 𝐹∾𝑟. Так как на поверхности Земли при 𝑟-𝑅 сила тяжести равна 𝑚𝑔, то на произвольном расстоянии 𝑟 от центра при 𝑟≤𝑅 имеем
𝐹(𝑟)
=
𝑚𝑔𝑟
𝑅
.
(1)
При 𝑟>𝑅 сила тяжести убывает обратно пропорционально квадрату расстояния; график зависимости силы тяжести от 𝑟 показан на рис. 17.3.
Рис. 17.3. Зависимость силы тяжести и потенциальной энергии от расстояния до центра Земли
Теперь легко найти выражение для потенциальной энергии тела, находящегося в туннеле. Для этого мысленно поднимем тело из центра Земли на расстояние 𝑟, перемещая его равномерно. Очевидно, что для этого внешняя сила в каждой точке должна быть равна силе тяжести 𝐹(𝑟) и противоположно направлена. Работа этой силы, равная площади заштрихованного треугольника 𝑚𝑔𝑟²/2𝑅, определяет изменение потенциальной энергии Δ𝐸п:
Δ𝐸
п
=
𝑚𝑔𝑟²
2𝑅
.
(2)
Обычно потенциальную энергию принимают равной нулю, когда тело находится на бесконечно большом расстоянии от Земли (как, например, в формуле (3) из введения к этому разделу). В этой задаче удобно принять потенциальную энергию равной нулю, когда тело находится в центре Земли. Тогда с помощью формулы (2) найдём, что при 𝑟≤𝑅
𝐸
п
(𝑟)
=
𝑚𝑔𝑟²
2𝑅
.
(3)
На поверхности Земли потенциальная энергия при этом будет равна 𝑚𝑔𝑅/2, а на бесконечно большом расстоянии от Земли 3𝑚𝑔𝑅/2. График зависимости потенциальной энергии от г также показан на рис. 17.3.
Формула (3) позволяет найти скорость ракеты 𝑣 в центре Земли при свободном падении с поверхности. Приравнивая потенциальную энергию на поверхности 𝑚𝑔𝑅/2 кинетической энергии ракеты в центре Земли 𝑚𝑣²/2, получаем
𝑣
=
√
𝑔𝑅
.
(4)
Видно, что эта скорость равна первой космической скорости для спутника, движущегося вблизи поверхности Земли (𝑣I= 7,9 км/с).
Теперь предположим, что в тот момент, когда ракета пролетает через центр Земли, срабатывают двигатели, которые изменяют её скорость на Δ𝑣. Тогда, подлетев к поверхности Земли, на выходе из туннеля ракета будет обладать скоростью 𝑣₁, которая находится с помощью закона сохранения энергии:
𝑚(𝑣+Δ𝑣)²
2
=
𝑚𝑣₁²
2
+
𝑚𝑔𝑅
2
.
(5)
Потребуем, чтобы 𝑣₁. была равна второй космической скорости 𝑣II=√2𝑔𝑅. Тогда для необходимого приращения скорости Δ𝑣 из уравнения (5) после подстановки в него 𝑣=√𝑔𝑅, решая квадратное уравнение, получаем
Δ𝑣
=
√
𝑔𝑅
⋅
(1±√
3
)
.
(6)
Взяв корень со знаком плюс, получаем значение Δ𝑣=(1-√3)√𝑔𝑅= 5,8 км/с. Второй корень соответствует изменению направления скорости ракеты в результате срабатывания двигателей на противоположное (т.е. торможению с последующим разгоном) и не представляет интереса в рассматриваемом примере.
Естественно задуматься над вопросом, за счёт чего получается такой «выигрыш» в энергии при использовании туннеля. При сгорании топлива в двигателях ракеты определённая часть его внутренней энергии превращается в кинетическую энергию ракеты и выброшенных газов. Если до срабатывания двигателей ракета была неподвижна на поверхности Земли, то в силу закона сохранения импульса некоторая (и немалая!) доля высвобождающейся энергии обязательно перейдёт в кинетическую энергию газов. Если же двигатели срабатывают в тот момент, когда ракета уже имеет некоторую скорость, то передаваемая газам доля кинетической энергии может быть меньше. Например, если при движении в туннеле скорость истечения газов из сопла двигателя ракеты будет равна скорости ракеты относительно Земли, то скорость выброшенных газов относительно Земли будет равна нулю. Другими словами, в системе отсчёта, связанной с Землёй, выброшенные газы вообще не будут обладать кинетической энергией, и вся высвобождающаяся механическая энергия целиком «достаётся» ракете. Ракете же достанется и кинетическая энергия топлива, которой оно обладало до срабатывания двигателей.