Интересно отметить, что свободное падение ракеты в туннеле представляет собой гармоническое колебание около центра Земли, при котором ракета пролетает через земной шар по диаметру от одного края туннеля до другого. Так происходит потому, что действующая в туннеле сила тяжести направлена к центру Земли и пропорциональна расстоянию до него. С помощью формулы (1) легко найти период таких колебаний. Поскольку частота ω=√𝑔/𝑅, то период 𝑇=2π/ω=2π/√𝑔/𝑅, что совпадает с периодом обращения спутника по низкой круговой орбите.
Разумеется, осуществление описанного здесь фантастического космического проекта лежит за пределами технических возможностей. Ни прорыть такой туннель через центр Земли, ни откачать из него воздух, что совершенно необходимо для того, чтобы свободное падение ракеты в нем происходило без сопротивления, конечно, невозможно. Но сама идея использовать поле тяготения для экономии топлива космических кораблей, несомненно, представляет интерес. Например, в космическом путешествии за пределы Солнечной системы можно использовать поле тяготения одной из тяжёлых планет для предварительного разгона и включать двигатели корабля для сообщения необходимого импульса вблизи этой планеты. ▲
18. Изменение орбиты.
В результате трения в верхних слоях атмосферы механическая энергия спутника Земли за много витков уменьшилась на 2%. Орбита спутника при этом как была, так и осталась круговой. Как изменились параметры орбиты: радиус 𝑟, скорость 𝑣, период обращения 𝑇?
△ В системе отсчёта, связанной с Землёй, механическая энергия спутника 𝐸 есть сумма его кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия с Землёй (𝑅 - радиус Земли):
𝐸
=
𝑚𝑣²
2
-
𝑚𝑔𝑅²
𝑟
.
(1)
Так как орбита спутника круговая, то его скорость постоянна и связана с радиусом орбиты соотношением
𝑣²
=
𝑔𝑅²
𝑟
.
(2)
С помощью (2) выражение для энергии спутника (1) можно представить в виде
𝐸(𝑟)
=-
𝑚𝑔𝑅²
𝑟
+
𝑚𝑔𝑅²
2𝑟
=-
𝑚𝑔𝑅²
2𝑟
.
(3)
Рис. 18.1. Зависимость кинетической, потенциальной и полной энергий спутника Земли от радиуса орбиты
Проиллюстрируем соотношение (3) графически. На рис. 18.1 показана зависимость потенциальной, кинетической и полной энергий спутника от радиуса 𝑟 круговой орбиты. Из рисунка видно, что увеличение механической энергии спутника приводит к увеличению радиуса орбиты. Поскольку при нашем выборе начала отсчёта потенциальной энергии полная энергия спутника всегда отрицательна, относительное изменение энергии Δ𝐸/𝐸 положительно при её уменьшении (Δ𝐸<0). Так как по условию полная энергия уменьшилась на 2 %, то Δ𝐸/𝐸 положительно и равно 0,02. Соотношение (3) позволяет связать изменение энергии спутника с изменением радиуса орбиты Δ𝑟:
𝐸(𝑟+
Δ
𝑟)
=-
1
2
𝑚𝑔𝑅²
𝑟+Δ𝑟
=
𝐸(𝑟)
+
Δ
𝐸
.
(4)
Правую часть этого выражения при Δ𝑟/𝑟≪1 приближённо можно записать так:
-
1
2
𝑚𝑔𝑅²
𝑟(1+Δ𝑟/𝑟)
≈
-
1
2
𝑚𝑔𝑅²
𝑟
⎛
⎜
⎝
1-
Δ𝑟
𝑟
⎞
⎟
⎠
=
𝐸(𝑟)
⎛
⎜
⎝
1-
Δ𝑟
𝑟
⎞
⎟
⎠
.
(5)
Сравнивая (4) и (5), получаем
𝐸
+
Δ
𝐸
=
𝐸
⎛
⎜
⎝
1-
Δ𝑟
𝑟
⎞
⎟
⎠
т.е.
Δ𝑟
𝑟
=-
Δ𝐸
𝐸
=
-0,02
.
Радиус орбиты также уменьшился на 2%.
Изменение скорости спутника при изменении орбиты легко выразить через изменение радиуса орбиты с помощью соотношения (2):
(𝑣+
Δ
𝑣)²
=
𝑔𝑅²
𝑟+Δ𝑟
.
(6)
Поскольку Δ𝑣/𝑣≪1 левую часть этого соотношения приближённо можно записать в виде
𝑣²
⎛
⎜
⎝
1
+
Δ𝑣
𝑣
⎞²
⎟
⎠
≈
𝑣²
⎛
⎜
⎝
1
+
2
Δ𝑣
𝑣
⎞
⎟
⎠
.
Преобразовав правую часть формулы (6) так же, как и при переходе от (4) к (5), получим
⎛
⎜
⎝
1
+
2
Δ𝑣
𝑣
⎞
⎟
⎠
=
𝑔𝑅²
𝑟
⎛
⎜
⎝
1
+
Δ𝑣
𝑣
⎞
⎟
⎠
,
откуда, учитывая (2), находим
Δ𝑣
𝑣
=-
Δ𝑟
2𝑟
=
Δ𝐸
2𝐸
=
0,01
.
Скорость спутника увеличилась на 1%. Обратите внимание, что слабое торможение спутника в верхних слоях атмосферы приводит к увеличению его скорости!
Осталось найти изменение периода обращения. Это легко сделать, зная Δ𝑟/𝑟 и Δ𝑣/𝑣, поскольку период связан с радиусом орбиты и скоростью спутника соотношением 𝑇=2π𝑟/𝑣. Записывая значение периода обращения при изменившихся радиусе орбиты и скорости спутника:
𝑇
+
Δ
𝑇
=
2π
𝑟+Δ𝑟
𝑣+Δ𝑣
,
и преобразуя правую пасть подобно тому, как это делалось выше,
2π
𝑟(1+Δ𝑟/𝑟)
𝑣(1+Δ𝑣/𝑣)
≈
𝑇
⎛
⎜
⎝
1
+
Δ𝑟
𝑟
-
Δ𝑣
𝑣
⎞
⎟
⎠
,
находим
Δ𝑇
𝑇
=
Δ𝑟
𝑟
-
Δ𝑣
𝑣
=-
3Δ𝐸
2𝐸
=
-0,03
.
Период обращения уменьшился на 3%. ▲
19. Энергия спутника.
Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите радиуса 𝑟. В какой пропорции сообщённая ему при запуске энергия распределилась между приращениями потенциальной и кинетической энергий?
△ Кинетическую энергию спутника 𝑚𝑣²/2, движущегося по круговой орбите, удобно выразить через радиус орбиты 𝑟:
𝐸
к
=
𝑚𝑔𝑅²
2𝑟
.
(1)
Находясь на поверхности Земли, спутник уже обладает потенциальной энергией. Если, как обычно, выбрать начало отсчёта потенциальной энергии на бесконечности, потенциальная энергия спутника на поверхности Земли
𝐸
п
(𝑅)
=-
𝑚𝑔𝑅
,
а потенциальная энергия на орбите