𝐸
п
(𝑟)
=-
𝑚𝑔𝑟
,
Следовательно, при выводе спутника на орбиту ему была сообщена потенциальная энергия
𝐸
п
=
𝐸
п
(𝑟)
-
𝐸
п
(𝑅)
=
𝑚𝑔𝑅
(1-𝑅/𝑟)
.
(2)
Составляя отношение (1) и (2), находим
𝐸п
𝐸к
=
2
𝑟-𝑅
𝑅
.
Но 𝑟-𝑅 равно высоте орбиты 𝐻 над поверхностью Земли. Итак,
𝐸п
𝐸к
=
2𝐻
𝑅
,
т.е. отношение сообщённой потенциальной энергии к сообщённой кинетической пропорционально высоте орбиты. ▲
20. Возвращение с орбиты.
Космический корабль движется по круговой орбите. Для перехода на траекторию приземления кораблю сообщают дополнительную скорость Δ𝑣 включением тормозного двигателя на короткое время. Рассмотреть два способа перехода на траекторию приземления: 1) дополнительная скорость сообщается в направлении, противоположном орбитальной скорости; 2) дополнительная скорость сообщается вертикально вниз, т.е. в направлении на центр Земли. Какой способ выгоднее энергетически? Исследовать также предельный случай возвращения с низкой круговой орбиты, высота которой ℎ над поверхностью Земли много меньше радиуса Земли 𝑅(ℎ≪𝑅).
△ Сообщение дополнительной скорости Δ𝑣 переводит корабль с круговой орбиты на эллиптическую. Один из фокусов эллипса, в соответствии с первым законом Кеплера, находится в центре Земли. При любом из способов перехода на траекторию приземления дополнительная скорость будет наименьшей, если эллипс только касается земной поверхности (точнее - границы плотных слоёв атмосферы), а не пересекает её. В самом деле, при таком условии требуется наименьшее «искажение» первоначальной круговой траектории. На рис. 20.1 выбранная точка приземления обозначена буквой 𝐴. Эта точка является перигеем эллиптической траектории спуска.
Рис. 20.1. Возможные траектории снижения с круговой орбиты в точку 𝐴 на поверхности
При первом способе включение двигателя изменяет только модуль, но не направление скорости. Поэтому в точке, где срабатывает тормозной двигатель, и исходная круговая, и получившаяся эллиптическая траектория спуска имеют общую касательную, направленную вдоль вектора скорости. Глядя на рис. 20.1, нетрудно сообразить, что эта точка является апогеем эллиптической траектории и, следовательно, лежит на продолжении прямой, проходящей через перигей (точку 𝐴) и центр Земли.
При втором способе дополнительная скорость Δ𝑣 сообщается в направлении, перпендикулярном круговой орбите, и, следовательно, при этом изменяется как модуль, так и направление орбитальной скорости. Это означает, что эллиптическая траектория спуска пересекает круговую орбиту в точке, где срабатывает тормозной двигатель (точка 𝐶 на рис. 20.1).
Для определения необходимой дополнительной скорости Δ𝑣 в каждом из этих случаев воспользуемся законом сохранения энергии и вторым законом Кеплера, согласно которому при движении по орбите секторная скорость неизменна. Уравнения, выражающие эти законы, для первого способа можно записать в виде
𝑚𝑣²
2
-
𝑚𝑔𝑅²
𝑟
=
𝑚𝑣₁²
2
-
𝑚𝑔𝑅
,
(1)
𝑟𝑣
=
𝑅𝑣₁
,
(2)
где 𝑣≡𝑣₀-Δ𝑣₁ - скорость в апогее (в точке 𝐵 рис. 20.1), 𝑣₀ - скорость на круговой орбите, 𝑟 - радиус круговой орбиты, - скорость в точке приземления 𝐴. Подставляя 𝑣₁ из (2) в (1) и перегруппировывая члены, получим
𝑣²
⎛
⎜
⎝
1-
𝑟²
𝑅²
⎞
⎟
⎠
=
2𝑔𝑅²
𝑟
⎛
⎜
⎝
1-
𝑟
𝑅
⎞
⎟
⎠
.
(3)
Рассматривая в левой части уравнения (3)
разность квадратов
⎛
⎜
⎝
1-
𝑟²
𝑅²
⎞
⎟
⎠
как произведение
⎛
⎜
⎝
1+
𝑟
𝑅
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1-
𝑟
𝑅
⎞
⎟
⎠
и сокращая правую и левую части на
⎛
⎜
⎝
1-
𝑟
𝑅
⎞
⎟
⎠
,
получаем
𝑣
=
⎛
⎜
⎝
2𝑔𝑅²
𝑟
⎞½
⎟
⎠
1
√1+𝑟/𝑅
.
Учитывая, что √𝑔𝑅²/𝑟 есть скорость корабля на круговой орбите 𝑣₀, и подставляя 𝑣=𝑣₀-Δ𝑣₁, - находим
Δ
𝑣₁
=
𝑣₀
⎛
⎜
⎝
1-
⎡
⎢
⎣
2
1+𝑟/𝑅
⎤½
⎥
⎦
⎞
⎟
⎠
.
(4)
В случае низкой круговой орбиты (ℎ≪𝑅) эту точную формулу можно приближённо записать в более простом виде. Преобразуем корень в правой части (4), подставляя вместо 𝑟 сумму радиуса Земли 𝑅 и высоты круговой орбиты ℎ (𝑟=𝑅+ℎ):
⎛
⎜
⎝
2
1+𝑟/𝑅
⎞½
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
2
1+(ℎ+𝑅)/𝑅
⎞½
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
2
2+ℎ/𝑅
⎞½
⎟
⎠
=
=
1
√1+ℎ/2𝑅
≈
1
√1+ℎ/4𝑅
≈
1
-
ℎ
4𝑅
.
Подставляя это выражение в формулу (4), получаем
Δ
𝑣₁
=
𝑣₀ℎ
4𝑅
.
(5)
Перейдём к нахождению дополнительной скорости Δ𝑣₂ при втором способе перехода на траекторию приземления. Прежде всего заметим, что при сообщении кораблю дополнительной скорости в направлении на центр Земли его секторная скорость не изменяется, поэтому в любой точке эллиптической траектории спуска секторная скорость будет такой же, как и на первоначальной круговой орбите, т.е. равной 𝑟𝑣₀ Запишем это условие для точки приземления 𝐴, скорость в которой обозначим через 𝑣₂:
𝑟𝑣₀
=
𝑅𝑣₂
.
(6)
Вместе с уравнением закона сохранения энергии
𝑚(𝑣₀²+Δ𝑣₂²)
2
-
𝑚𝑔𝑅²
2
=
𝑚𝑣₂²
2
-
𝑚𝑔𝑅
(7)
получаем систему уравнении относительно неизвестных 𝑣₂² и Δ𝑣₂². В уравнении (7) учтено, что дополнительная скорость Δ𝑣₂² перпендикулярна скорости на круговой орбите и квадрат результирующей скорости определяется по теореме Пифагора (рис. 20.1). Подставляя 𝑣₂ из (6) в уравнение (7), учитывая, что скорость на круговой орбите 𝑣₀=√𝑔𝑅²/𝑟, и выражая через 𝑣₀ последнее слагаемое в правой части (7), получаем
𝑣₀²
+
Δ
𝑣₂²
-
2𝑣₀²
=
𝑣₀²
𝑟²