Для получения количественного результата необходимо использовать некоторые свойства гиперболической траектории, по которой движется метеорит, если он приходит к Земле из бесконечности. Гипербола - это геометрическое место точек, разность расстояний до которых от двух заданных точек 𝑂 и 𝑂', называемых фокусами, постоянна: 𝑟₁-𝑟₂=const (рис. 21.1). Один из фокусов гиперболы 𝑂 совпадает с центром Земли, второй фокус 𝑂' лежит на прямой, проходящей через центр Земли и ближайшую к центру точку 𝐴 траектории. На бесконечно больших расстояниях от Земли как при приближении, так и при удалении- скорость метеорита направлена по асимптотам гиперболы, т.е. задача состоит в нахождении угла θ между асимптотами. Точка пересечения асимптот лежит посредине между фокусами.
Приравняем разности расстояний от фокусов 𝑂 и 𝑂' до бесконечно удалённой точки (𝑂'𝐵 на рис. 21.1) и до ближайшей к центру Земли точки (𝐴 на рис. 21.1). Из треугольника 𝑂𝑂'𝐵 находим
𝑂'𝐵
=
2𝑙 tg
θ
2
,
𝑂𝑂'
=
2𝑙
cos (θ/2)
Разность расстояний от фокусов до точки 𝐴 равна
𝐴𝑂'
-
𝐴𝑂
=
(𝑂𝑂'-𝐴𝑂)
-
𝐴𝑂
Обозначим через 𝑟 расстояние 𝐴𝑂 от центра Земли до ближайшей точки траектории. Теперь условие равенства разности расстояний до выбранных точек можно записать в виде
2𝑙 tg
θ
2
=
2𝑙
cos (θ/2)
-
2𝑟
.
Перенося 2𝑟 в левую часть, возводя обе части в квадрат и используя тождество 1/cos²α=1+tg²α, получаем
tg
θ
2
=
𝑙²-𝑟²
2𝑙𝑟
.
(1)
При заданном прицельном расстоянии 𝑙 расстояние 𝑟 до ближайшей к центру Земли точки траектории зависит от скорости 𝑣₀ на бесконечности. Для того чтобы исключить 𝑟 из формулы (1), воспользуемся законом сохранения энергии
𝑚𝑣₀²
2
=
𝑚𝑣²
2
-
𝑚𝑔𝑅²
𝑟
(2)
(𝑣 - скорость метеорита в точке 𝐴, 𝑅 - радиус Земли) и вторым законом Кеплера, который при движении в центральном поле справедлив и для разомкнутых траекторий:
𝑙𝑣₀
=
𝑟𝑣
.
(3)
Правая часть этого равенства очевидна, поскольку в ближайшей к Земле точке траектории 𝐴 вектор скорости 𝑣 перпендикулярен радиусу Земли. Левая часть этого равенства становится очевидной, если посмотреть на рис. 21.2.
Рис. 21.2. Применение второго закона Кеплера к гиперболической орбите
Из закона сохранения энергии (2) и формулы (3) легко находим
𝑙²-𝑟²
𝑟
=
2𝑔𝑅
𝑣₀²
,
что после подстановки в (1) даёт
tg
θ
2
=
𝑔𝑅²
𝑙𝑣₀²
.
(4)
Эта формула решает поставленную задачу: определяет угол отклонения метеорита в зависимости от прицельного расстояния и скорости на бесконечности. Угол θ/2 монотонно возрастает от 0 до π/2 при уменьшении произведения 𝑙𝑣₀² от ∞ до 0, что согласуется с приведёнными выше качественными соображениями.
При решении задачи мы предполагали, что траектория метеорита не задевает Землю. Уравнения (2) и (3) позволяют найти условие, которому должны удовлетворять прицельное расстояние 𝑙 и скорость метеорита на бесконечности 𝑣₀, чтобы это действительно было так. Полагая в этих уравнениях минимальное расстояние 𝑟 до центра Земли равным радиусу Земли 𝑅 и исключая из них 𝑣, находим
𝑙
мин
=
𝑅
⎛
⎜
⎝
1+
2𝑔𝑅
𝑣₀²
⎞½
⎟
⎠
.
При меньших значениях прицельного расстояния метеорит упадёт на Землю.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Наибольшее значение угла отклонения θmax получается из (4) при наименьшем возможном (при заданной скорости 𝑣₀) значении прицельного расстояния 𝑙min, выражение для которого можно переписать несколько иначе, воспользовавшись тем, что 2𝑔𝑅 равно квадрату второй космической скорости 𝑣II:
𝑙
min
=
𝑅
√
1+(𝑣
II
/𝑣₀)²
(𝑙min и θmax соответствуют траектории, почти касающейся земного шара). Таким образом,
θ
max
=
2arctg
(𝑣II/𝑣₀)²
2√1+(𝑣II/𝑣₀)²
.
(5)
Если скорость на бесконечности мала по сравнению со второй космической скоростью: 𝑣₀≪𝑣II, то в знаменателе (5) под корнем можно пренебречь единицей:
θ
max
≈
2 arctg
𝑣II
𝑣₀
т.е θmax→π при 𝑣₀/𝑣II→0: при малой начальной скорости и надлежащем выборе её направления (т.е. таком, чтобы метеорит всё-таки прошёл мимо Земли) направление скорости метеорита после облёта Земли изменится практически на противоположное.
2. Угол отклонения метеорита будет мал, как видно из (4), при выполнении неравенства 𝑔𝑅²/𝑙𝑣₀²≪1. В этом случае в (4) тангенс можно заменить его аргументом:
θ
≈
2𝑔𝑅²
𝑙𝑣₀²
.
(6)
Правая часть этого выражения представляет собой отношение абсолютной величины потенциальной энергии метеорита на расстоянии 𝑙 от центра Земли 𝑚𝑔𝑅²/𝑙 и его кинетической энергии на бесконечности 𝑚𝑣₀²/2.
Рис. 21.3. К вычислению малого угла отклонения метеорита
Интересно отметить, что приближённый результат (6) для отклонения на малый угол с точностью до числового множителя порядка единицы можно получить совершенно элементарно. Рассмотрим относящийся к этому случаю рис. 21.3. Грубо можно считать, что взаимодействие метеорита с Землёй существенно только на ближайшем к Земле участке траектории 𝐴𝐵 длиной порядка 𝑙: другие участки почти прямолинейны, так как там сила земного притяжения практически параллельна скорости метеорита. В рассматриваемом движении модуль скорости практически не изменяется и продолжительность действия силы земного тяготения на метеорит можно принять равной Δ𝑡≈𝑙/𝑣₀. Силу приближённо можно положить равной 𝑚𝑔𝑅²/𝑙². Таким образом, приращение импульса метеорита Δ𝑝 в направлении, перпендикулярном направлению его движения, составляет по порядку величины
Δ
𝑝
=
𝐹
Δ
𝑡
≈
𝑚𝑔𝑅²
𝑙𝑣₀
.
Отсюда для угла отклонения θ легко получить
θ
≈
Δ𝑝
𝑝
=
Δ𝑝
𝑚𝑣₀
=
𝑔𝑅²
𝑙𝑣₀²
. ▲
22. Рассеяние α-частиц.