α-частица, летевшая со скоростью 𝑣₀ упруго рассеивается на неподвижном ядре и изменяет направление движения на 90°. Определить скорость ядра после удара.
△ Столкновение α-частицы с ядром можно рассматривать как абсолютно упругий удар, при котором выполняются законы сохранения энергии и импульса. Пусть 𝑚 и 𝑀 - массы α-частицы и ядра, а 𝒗 и 𝑽 - их скорости после столкновения. Тогда законы сохранения энергии и импульса записываются в виде
𝑚𝑣₀²
2
=
𝑚𝑣²
2
+
𝑀𝑉²
2
,
(1)
𝑚𝒗₀
=
𝑚𝒗
+
𝑀𝑽
.
(2)
Рис. 22.1. Сохранение импульса при рассеянии α-частицы на прямой угол неподвижным ядром
Равенству (2) соответствует параллелограмм импульсов на рис. 22.1. Так как по условию α-частица рассеялась на 90°, то треугольники на этом рисунке прямоугольные. Направление движения ядра после удара составляет некоторый угол φ с первоначальным направлением движения α-частицы. Из рис. 22.1 видно, что
tg φ
=
𝑣
𝑣₀
.
(3)
Для нахождения скорости α-частицы и ядра после удара применим к прямоугольному треугольнику на рис. 22.1 теорему Пифагора:
𝑀²𝑉²
=
𝑚²
(𝑣₀²+𝑣²)
.
(4)
Подставляя отсюда 𝑉² в уравнение закона сохранения энергии (1), получаем
𝑣²
=
𝑣₀²
𝑀-𝑚
𝑀+𝑚
.
(5)
Подставляя это значение 𝑣² в равенство (4), находим
𝑉²
=
𝑣₀²
2𝑚²
𝑀(𝑀+𝑚)
.
(6)
Выражение (3) для tg φ с учётом (5) принимает вид
tg φ
=
⎛
⎜
⎝
𝑀-𝑚
𝑀+𝑚
⎞½
⎟
⎠
.
(7)
Из формулы (5) или (7) видно, что рассеяние α-частицы на 90° при столкновении с неподвижным ядром возможно только в том случае, когда её масса меньше массы ядра: 𝑚<𝑀. Условие задачи не может быть выполнено, если α-частицы рассеиваются на ядрах водорода, дейтерия, трития или гелия.
Рис. 22.2. Гиперболические траектории α-частиц в кулоновском поле ядра
Несмотря на то что рассмотренный процесс мы называем ударом, в действительности α-частица может и не приходить в непосредственное соприкосновение с ядром. На налетающую α-частицу со стороны ядра действует кулоновская сила отталкивания, так что траектория α-частицы представляет собой гиперболу (рис. 22.2). Ближе всего α-частица подходит к ядру при центральном ударе, в результате которого она рассеивается назад. Для того чтобы оценить по порядку величины наименьшее расстояние 𝑟₀, на которое α-частица может приблизиться к ядру, будем считать, что ядро остаётся неподвижным, и приравняем первоначальную кинетическую энергию α-частицы к потенциальной энергии системы в момент остановки α-частицы:
𝑚𝑣₀²
2
=
1
4πε₀
2𝑍𝑒²
𝑟₀
,
(8)
где 𝑍𝑒 - заряд ядра. Если скорость налетающей α-частицы такова, что вычисленное по формуле (8) значение 𝑟₀ окажется больше размера ядра 𝑅≈10-13 см, то в процессе столкновения с ядром на α-частицу действует только кулоновская сила, а короткодействующие ядерные силы не играют никакой роли.
Если в формуле (8) положить 𝑟₀ равным радиусу действия ядерных сил 𝑅≈10-13 см, то можно оценить максимальную скорость (или энергию) α-частицы, при которой она ещё упруго рассеивается на ядре, не изменяя его внутреннего состояния. Так, при 𝑍 порядка 80 (у золота, использовавшегося в опытах Резерфорда, 𝑍=79) эта скорость составляет примерно 106 м/с. При этом благодаря тому, что силы кулоновского взаимодействия являются потенциальными, механическая энергия системы сохраняется. В результате модель абсолютного упругого удара адекватно описывает рассеяние, хотя удара в механическом смысле не происходит.
Кинетическую энергию, приобретаемую ядром при рассеянии α-частицы на прямой угол, используя формулу (6), можно записать в виде
𝑀𝑉
2
=
𝑚𝑣₀²
2
2𝑚
𝑀+𝑚
.
(9)
Обратим внимание на то, что передаваемая ядру при столкновении энергия составляет ничтожную часть первоначальной энергии α-частицы, если его масса много больше массы α-частицы: 𝑀≫𝑚. Этот вывод, полученный для частного случая рассеяния на прямой угол, остаётся справедливым и в общем случае рассеяния на любые углы.
При получении соотношения (9) использовались только законы сохранения. Поэтому вывод о том, что лёгкая частица при упругом столкновении с тяжёлой частицей может передать ей лишь незначительную часть своей кинетической энергии, является универсальным и применим, в частности, к упругим столкновениям электронов с ионами и нейтральными атомами в плазме. Это приводит к интересным особенностям в свойствах плазмы.
Рассмотрим, например, такой опыт: в плазму впрыскивается пучок быстрых электронов. После того как электроны пучка испытают хотя бы по одному столкновению с ионами или атомами, направленный характер движения электронов будет полностью утрачен. Произойдёт полная хаотизация распределения электронов по направлению скорости. Но каждый электрон должен испытать очень много столкновений с тяжёлыми частицами, прежде чем произойдёт выравнивание средних значений кинетических энергий лёгких и тяжёлых частиц. В результате в течение довольно большого промежутка времени электроны и ионы в плазме будут находиться как бы при разных температурах. Хотя электроны и ионы находятся в одном и том же Объёме, полностью перемешаны и всё время сталкиваются друг с другом, они ведут себя как две разные, почти изолированные друг от друга термодинамические системы, между которыми почти нет теплообмена! ▲
23. Столкновение шара с клином.
Шар массы 𝑚, летевший горизонтально со скоростью 𝒗, после абсолютно упругого удара о наклонную поверхность клина отскакивает вертикально вверх (рис. 23.1). Клин массы 𝑀. стоит на гладкой горизонтальной поверхности и после удара скользит по этой поверхности. На какую высоту подскочит шар?
Рис. 23.1. Удар шара о наклонную поверхность клина
△ Высота ℎ подъёма шара над точкой, в которой происходит удар, определяется вертикальной скоростью 𝑣₁ приобретаемой шаром в результате удара;
ℎ
=
𝑣₁²
2𝑔
.
Поэтому решение задачи сводится к нахождению этой скорости 𝑣₁.
Рассмотрим сначала предельный случай, когда масса клина много больше массы шара: 𝑀≫𝑚. Ясно, что массивный клин практически не сдвинется с места при ударе лёгкого шара, т.е. клин можно считать скреплённым с горизонтальной поверхностью. Чтобы шар действительно отскочил вверх, наклонная грань клина в этом случае должна образовывать угол π/4 с горизонтом. Так как по условию удар шара о клин абсолютно упругий, скорость шара изменяется только по направлению, оставаясь неизменной по модулю: 𝑣₁=𝑣 Следовательно, ℎ=𝑣²/2𝑔.
А что будет, если масса клина сравнима с массой шара?
Попробуем применить законы сохранения импульса и энергии, считая, что при ударе взаимодействие шара с клином и взаимодействие клина с горизонтальной поверхностью происходят мгновенно и одновременно. По условию между клином и поверхностью, на которой он лежит, трение отсутствует. Поэтому проекция закона сохранения импульса на горизонтальное направление записывается в виде