sin φ
max
=
𝑀
𝑚
.
При 𝑀<𝑚 этот предельный угол всегда меньше π/2.
Итак, сама форма ответов не даёт возможности выбрать из них правильный. Соответствие предельным случаям - это необходимое условие правильности ответа, но, разумеется, недостаточное. Можно попробовать поставить дополнительные вопросы, ответ на которые помог бы выбрать правильное решение. Например, здесь можно задать вопрос, какой угол α должна составлять наклонная грань клина с горизонтальной, чтобы шар действительно отскочил вертикально вверх.
Построим вектор изменения импульса шара при столкновении Δ𝒒=𝑚𝒗₁-𝑚𝒗 (рис. 23.3). Это изменение импульса вызывается силой, действующей на шар со стороны наклонной грани клина. Поскольку удар упругий и трение отсутствует, то эта сила обязательно направлена перпендикулярно поверхности клина. Теперь из рис. 23.3 сразу видно, что tg α=𝑣/𝑣₁. Так как 𝑣₁≤𝑣, то α≥π/4, где знак равенства соответствует предельному случаю.
Рис. 23.3. К вычислению угла наклона грани клина
Значение 𝑣₁ в приведённых двух решениях задачи получилось разным, поэтому разным будет и угол α. Однако предельное значение α при 𝑚≪𝑀 в обоих случаях одинаково, и мы опять не можем отдать предпочтение одному из ответов.
Так какой же ответ всё-таки правильный? Чтобы разобраться в этом, придётся внимательно проанализировать условия применимости тех допущений, которые были сделаны при решении задачи. Для этого необходимо гораздо глубже вникнуть в механизм энергетических превращений при упругих столкновениях. Поэтому сначала в нескольких следующих задачах будут рассмотрены более простые примеры, а затем мы вернёмся к поставленному вопросу. ▲
24. Длительность удара.
Оценить время упругого удара твёрдых тел, рассматривая столкновение стержня, налетающего торцом на неподвижную недеформируемую стенку (рис. 24.1).
Рис. 24.1. Столкновение стержня со стенкой
△ В предыдущей задаче мы считали, что упругий удар твёрдых тел происходит мгновенно. Но совершенно очевидно, что это предположение является идеализацией. Столкновение реальных тел всегда занимает конечный промежуток времени τ. В самом деле, если бы изменение импульса тела при столкновении происходило мгновенно, то сила взаимодействия тел при ударе была бы бесконечно большой, чего, естественно, не бывает. От чего же может зависеть длительность столкновения? Допустим, что мы рассматриваем отражение упругого тела от недеформируемой стенки. При столкновении кинетическая энергия тела в течение первой половины столкновения превращается в потенциальную энергию упругой деформации тела. В течение второй половины происходит обратное превращение энергии деформации в кинетическую энергию отскакивающего тела. Поэтому очевидно, что упругие свойства тела играют определённую роль при столкновении.
Итак, можно ожидать, что длительность удара зависит от модуля Юнга материала тела 𝐸, его плотности ρ и его геометрических размеров. Возможно, что длительность удара τ зависит и от скорости 𝑣, с которой тело налетает на преграду.
Нетрудно убедиться, что оценить время столкновения с помощью одних только соображений размерности не удастся. Действительно, если даже взять в качестве налетающего тела шар, размеры которого характеризуются только одним параметром - радиусом 𝑅, то из величин 𝐸, ρ, 𝑅 и 𝑣 можно составить бесчисленное множество выражений, имеющих размерность времени:
τ
=
𝑅
⎛
⎜
⎝
ρ
𝐸
⎞½
⎟
⎠
ƒ
⎛
⎜
⎝
ρ𝑣²
𝐸
⎞
⎟
⎠
,
(1)
где ƒ - произвольная функция безразмерной величины ρ𝑣²/𝐸. Поэтому для нахождения τ необходимо динамическое рассмотрение. Проще всего такое рассмотрение провести для тела, имеющего форму длинного стержня.
Пусть стержень, движущийся со скоростью 𝑣, налетает торцом на неподвижную стенку. При соприкосновении торцевого сечения стержня со стенкой скорости лежащих в этом сечении частиц стержня мгновенно обращаются в нуль. В следующий момент времени останавливаются частицы, расположенные в соседнем сечении, и т.д. Участок стержня, частицы которого к данному моменту уже остановились, находится в деформированном состоянии. Другими словами, в этот момент времени деформированной оказывается та часть стержня, до которой дошла волна упругой деформации, распространяющаяся по стержню от места контакта с преградой. Эта волна деформации распространяется по стержню со скоростью звука 𝑢. Если считать, что стержень пришёл в соприкосновение со стенкой в момент времени 𝑡=0, то в момент времени 𝑡 длина сжатой части стержня равна 𝑢𝑡 Эта часть стержня на рис. 24.2а заштрихована. В незаштрихованной части стержня скорости всех его частиц по-прежнему равны 𝑣, а в сжатой (заштрихованной) части стержня все частицы покоятся.
Рис. 24.2. Распространение волны упругой деформации в стержне при ударе о стенку. Фронт волны деформации движется со скоростью звука 𝑢
Первый этап процесса столкновения стержня со стенкой закончится в тот момент, когда весь стержень окажется деформированным, а скорости всех его частиц обратятся в нуль (рис. 24.2б). В этот момент кинетическая энергия налетающего стержня целиком превращается в потенциальную энергию упругой деформации. Сразу после этого начинается второй этап столкновения, при котором стержень возвращается в недеформированное состояние. Этот процесс начинается у свободного конца стержня и, распространяясь по стержню со скоростью звука, постепенно приближается к преграде. На рис. 24.2в стержень показан в тот момент, когда незаштрихованная часть уже не деформирована и все её частицы имеют скорость 𝑣, направленную влево. Заштрихованный участок по-прежнему деформирован, и скорости всех его частиц равны нулю.
Конец второго этапа столкновения наступит в тот момент, когда весь стержень окажется недеформированным, а все частицы стержня приобретут скорость 𝑣, направленную противоположно скорости стержня до удара. В этот момент правый конец стержня отделяется от преграды: недеформированный стержень отскакивает от стенки и движется в противоположную сторону с прежней по модулю скоростью (рис. 24.2г). Энергия упругой деформации стержня при этом целиком переходит обратно в кинетическую энергию.
Из изложенного ясно, что длительность столкновения τ равна времени прохождения фронта волны упругой деформации по стержню туда и обратно:
τ
=
2𝑙
𝑢
,
(2)
где 𝑙 - длина стержня.
Определить скорость звука в стержне 𝑢 можно следующим образом. Рассмотрим стержень в момент времени 𝑡 (рис. 24.2а), когда волна деформации распространяется влево. Длина деформированной части стержня в этот момент равна 𝑢𝑡. По отношению к недеформированному состоянию эта часть укоротилась на величину 𝑣𝑡, равную расстоянию, пройдённому к этому моменту ещё недеформированной частью стержня. Поэтому относительная деформация этой части стержня равна 𝑣/𝑢. На основании закона Гука