Рис. 1.3. Выбор направления скорости лодки 𝒗 для переправы из 𝐴 в 𝐵
Рис. 1.4. К вычислению минимальной скорости 𝑣min
Нужное нам направление вектора 𝑽 может быть получено при разных значениях вектора 𝒗. Скорость течения 𝒖 во всех случаях направлена одинаково и изображается одним и тем же вектором. Скорость лодки относительно воды 𝒗 может быть направлена по-разному. Из рис. 1.3 видно, что эта скорость будет наименьшей в том случае, когда скорость лодки относительно берега 𝑽 направлена именно по прямой 𝐴𝐵, а скорость 𝒗 перпендикулярна этой прямой. Этот случай показан на рис. 1.4. Из подобия изображённых прямоугольных треугольников находим
𝑣min
𝑢
=
𝑙
√𝑙²+𝑠²
.
(2)
Отметим, что если мы хотим попасть в точку 𝐵, двигаясь с минимальной возможной скоростью 𝑣min, то нам придётся направить нос лодки перпендикулярно выбранной траектории лодки 𝐴𝐵. Лодку будет сносить течением, и в результате она будет боком приближаться к намеченной цели!
Возвращаясь к рис. 1.3, мы видим, что для получения ответа на первый вопрос задачи нам пришлось проанализировать треугольник, соответствующий закону сложения скоростей (1). В этом треугольнике одна из сторон (𝒖) была задана по модулю и направлению. Направление другой стороны (𝑽) мы выбрали, исходя из условия задачи - требования попасть в точку 𝐵. Тогда для получения минимального значения модуля третьей стороны (𝒗) её нужно было направить перпендикулярно выбранному направлению 𝑽
Рис. 1.5. Выбор направления для переправы с минимальным сносом
Аналогичные рассуждения можно использовать и для ответа на второй вопрос задачи. Вектор скорости течения 𝒖 и в этом случае задан по модулю и направлению. Что касается второго слагаемого в правой части выражения (1) - скорости лодки относительно воды 𝒗, то заранее известен только её модуль 𝑣, а направление может быть любым. Если начало вектора 𝒗 совместить с концом вектора 𝒖 (рис. 1.5), то конец вектора 𝒗 может лежать в любой точке окружности радиуса 𝑣. Из рис. 1.5б сразу видно, что снос лодки течением неизбежен, если 𝑣<𝑢 Если же скорость лодки 𝑣 больше скорости 𝑢, то при должном выборе направления 𝒗 можно добиться того, что сноса вообще не будет (рис. 1.5а). Более того, при 𝑣>𝑢 можно, переправляясь через реку, причалить к противоположному берегу в любом месте выше по течению.
Анализ рис. 1.5б показывает, что при 𝑣<𝑢 снос будет минимальным, если скорость лодки относительно берегов 𝑽 направлена по касательной к окружности радиуса 𝑣 Сравнивая изображённые на этом рисунке подобные треугольники, находим минимальный снос лодки 𝑠min:
𝑠
min
=
𝑙√𝑢²-𝑣²
𝑣
,
𝑣<𝑢
.
(3)
Посмотрите ещё раз на рис. 1.5б и сообразите, куда следует направлять нос лодки при переправе, чтобы её снос течением был минимальным. ▲
2. Как опередить автобус?
Человек находится в поле на расстоянии 𝑙 от прямолинейного участка шоссе. Справа от себя он замечает движущийся по шоссе автобус. В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы выбежать на дорогу впереди автобуса как можно дальше от него? Скорость автобуса 𝑢, скорость человека 𝑣.
△ Интерес, разумеется, представляет только случай 𝑣<𝑢, так как при 𝑣>𝑢 человек может убежать от автобуса на любое расстояние.
Рис. 2.1. Бежать к шоссе нужно не по кратчайшему пути
Чтобы выбежать на шоссе как можно раньше, человек должен избрать кратчайший путь. Если при этом он даже и успеет выбежать на шоссе впереди автобуса, то всё равно расстояние до автобуса не будет максимальным из возможных. В самом деле, если бежать не перпендикулярно шоссе, а под некоторым небольшим углом α к перпендикуляру (рис. 2.1), то путь человека до шоссе увеличится на величину Δ𝑙, но зато он выбежит на дорогу на расстоянии 𝑑 левее точки 𝐵. Если выбрать угол α достаточно малым, то расстояние 𝑑 можно сделать больше расстояния Δ𝑙 в любое число раз. Поэтому, несмотря на то что скорость человека 𝑣 меньше скорости автобуса 𝑢, он окажется на шоссе на большем расстоянии от автобуса, чем в точке 𝐵.
В каком же направлении следует бежать человеку? Оказывается, что на этот вопрос легко ответить, если перейти в другую систему отсчёта, в которой автобус покоится. Эта система отсчёта движется относительно земли в левую сторону со скоростью 𝑢. В данной системе неподвижно стоящий на земле человек имеет скорость 𝒖, направленную вправо (рис. 2.2). Полная скорость человека в новой системе отсчёта 𝑽 равна векторной сумме 𝒖 и скорости человека относительно земли 𝒗.
Рис. 2.2. Скорость человека в системе отсчёта, где автобус неподвижен
Теперь нетрудно сообразить, что эта задача эквивалентна рассмотренной выше задаче о минимальном сносе лодки при переправе на другой берег реки. Так как в рассматриваемой системе отсчёта автобус неподвижен, то требование выбежать на шоссе как можно дальше от автобуса равносильно требованию минимального сноса лодки при переправе через реку. Поэтому искомое направление вектора 𝒗 определяется таким же построением, как и в предыдущей задаче (рис. 2.3). Траектория человека в системе отсчёта, где автобус неподвижен, - это прямая 𝐴𝐶. Траектория же в системе отсчёта, связанной с землёй, - прямая 𝐴𝐷.
Рис. 2.3. К нахождению направления движения человека
Таким образом, бежать к шоссе нужно не по кратчайшему пути, а под углом α к нему, причём
sin α
=
𝑣
𝑢
Из рис. 2.3 видно, что человек сможет прибежать на шоссе раньше автобуса только в том случае, если в начальный момент автобус находится от точки 𝐵 на расстоянии, не меньшем
𝑠
min
=
𝑙√𝑢²-𝑣²
𝑣
.
Рассмотренная задача может служить примером того, как удачный выбор системы отсчёта позволяет значительно облегчить решение. ▲
3. Радиус кривизны.
Найти радиус кривизны циклоиды в верхней точке её дуги - в точке 𝐴 на рис. 3.1.
Рис.3.1. Циклоида
△ Нахождение радиуса кривизны заданной кривой - это, разумеется, чисто геометрическая задача. Для её решения достаточно знать уравнение кривой. Поэтому на первый взгляд не ясно, какое отношение к физике имеет поставленный в задаче вопрос.
Однако иногда такие задачи можно очень просто решить, воспользовавшись тем, что радиус кривизны кривой входит в некоторые кинематические формулы. Основная идея заключается в том, что рассматриваемую геометрическую кривую представляют как траекторию какого-либо достаточно простого механического движения и исследуют это движение методами кинематики.