Рис. 29.2. Разложение на составляющие скорости мяча до и после удара
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим силы, действующие на мяч со стороны стенки при ударе (рис. 29.3). Направленная по нормали к стенке сила 𝑵 - это сила упругости, возникающая при деформации мяча. Деформацию хорошо накачанного мяча можно считать упругой, после удара мяч восстанавливает свою форму. Поэтому энергия упругой деформации мяча после удара снова перейдёт в кинетическую энергию.
Рис. 29.3. Силы, действующие на мяч во время удара
Другими словами, часть кинетической энергии мяча, связанная с его движением по нормали к стенке, остаётся неизменной.
Изменение составляющей скорости, параллельной поверхности, происходит под действием силы трения. Эта сила направлена в сторону, противоположную скорости точек поверхности мяча в месте соприкосновения со стенкой. Если мяч до удара не вращался, то скорости этих точек равны 𝒗∥, и действие силы трения приводит к уменьшению модуля 𝒗∥. Это значит, что угол отражения β меньше угла падения α. Именно этот случай и изображён на рис. 29.1 и 29.2. Сила трения может и увеличивать значение если до удара о стенку мяч вращался в направлении, указанном на рис. 29.4. При достаточно быстром вращении мяча (ω𝑅>𝒗∥) касающиеся стенки точки мяча имеют скорости, направленные влево, сила трения направлена вправо и значение 𝒗∥ возрастает. В этом случае угол отражения больше угла падения.
Рис. 29.4. Скорости мяча до и после удара при вращении налетающего мяча по часовой стрелке
Рассмотрим подробно случай, когда мяч до удара не вращается. Будем также считать, что скорости точек мяча, касающихся стенки, не обращаются в нуль: в течение удара проскальзывание не прекращается. Сила 𝑵 (рис. 29.3) возникает в момент соприкосновения мяча со стенкой, затем растёт, достигая наибольшего значения в момент максимальной деформации мяча, а затем убывает до нуля. Сила трения скольжения 𝑭тр в течение удара также не остаётся постоянной. В любой момент времени модули сил 𝑭тр и 𝑵 связаны законом Кулона - Амонтона:
𝑭
тр
=
μ𝑵
.
(1)
Поэтому в течение всего удара полная сила 𝑸, с которой поверхность стенки действует на мяч, изменяется по модулю, но остаётся неизменной по направлению, образуя угол γ с нормалью к стенке. Как видно из рис. 29.3, tg γ=μ. Это позволяет найти угол отражения мяча β.
Рис. 29.5. К вычислению угла отражения β
На основании второго закона Ньютона изменение импульса мяча при ударе о стенку Δ𝒑 совпадает по направлению с силой 𝑸. С помощью рис. 29.2 построим вектор изменения импульса Δ𝒑=𝑚(𝒗'-𝒗) (рис. 29.5). Этот вектор, так же как и вектор 𝑸 на рис. 29.3, образует угол γ с нормалью к стенке. Непосредственно из рис. 29.5 видно, что
𝑣'
∥
=
𝑣
∥
-
2𝑣
⊥
tg γ
.
(2)
Деля обе части этого равенства на 𝑣⊥ и учитывая, что 𝑣∥/𝑣⊥=tg α, 𝑣'∥/𝑣'⊥=tg α, а tg γ=μ, получаем
tg β
=
tg α
-
2μ
.
(3)
Из полученной формулы видно, что при малых углах падения, когда tg α<2 μ, результат теряет смысл. С чем это связано? Формула (3) выведена в предположении, что проскальзывание мяча не прекращалось в течение всего времени его контакта со стенкой. Однако при малых углах падения проскальзывание мяча может прекратиться раньше, чем он отделится от стенки. Это связано с тем, что сила трения скольжения, направленная противоположно 𝒗∥, не только тормозит поступательное движение мяча, но и вызывает его вращение по часовой стрелке, так как точка приложения силы трения не совпадает с центром мяча. Проскальзывание прекращается в тот момент, когда связанная с вращением скорость нижней точки мяча сравняется по модулю с параллельной поверхности составляющей скорости центра мяча.
Случай, когда в процессе столкновения со стенкой проскальзывание мяча прекращается, более сложен для исследования, так как требует привлечения уравнения, описывающего вращательное движение. При этом оказывается, что ответ, даваемый формулой (3), становится неприменимым даже при угле падения α, тангенс которого несколько больше 2μ. Точный расчёт даёт для предельного угла падения tg α=5μ.
Отскочивший от шероховатой стенки мяч обязательно будет вращаться, даже если до удара он не вращался. Кинетическая энергия этого вращения возникает за счёт уменьшения кинетической энергии поступательного движения. Некоторая часть механической энергии мяча при ударе переходит в тепло.
Нетрудно сообразить, что даваемое формулой (3) значение угла отражения β справедливо и в том случае, когда до удара мяч вращался против часовой стрелки. Не представляет труда найти угол отражения и тогда, когда до удара мяч вращался по часовой стрелке. Если это вращение достаточно быстрое, так что проскальзывание мяча не прекращается в течение удара, то, рассуждая так же, как и при получении выражения (3), находим
tg β
=
tg α
+
2μ
.
(4)
В этом случае кинетическая энергия поступательного движения мяча в результате удара о стенку увеличивается. Это увеличение, как и выделение тепла во время удара, происходит за счёт кинетической энергии вращения. ▲
III. СТАТИКА
Статика изучает равновесие тел. В инерциальной системе отсчёта твёрдое тело находится в равновесии, если векторная сумма всех действующих на тело сил и векторная сумма моментов этих сил равны нулю. При выполнении первого условия равно нулю ускорение центра масс тела. При выполнении второго условия отсутствует угловое ускорение вращения. Поэтому если в начальный момент тело покоилось, то оно будет оставаться в покое и дальше.
Во всех задачах этого раздела рассматриваются сравнительно простые системы, в которых все действующие силы лежат в одной плоскости. В этом случае векторное условие
∑
𝐹
𝑖
=
0
𝑖
сводится к двум скалярным:
∑
𝐹
𝑖𝑥
=
0
,
𝑖
∑
𝐹
𝑖𝑦
=
0
,
𝑖
если расположить оси 𝑥 и 𝑦 в плоскости действия сил.
Для плоской системы сил моменты всех сил направлены перпендикулярно плоскости, в которой лежат силы (если моменты рассматриваются относительно точки, лежащей в этой же плоскости). Поэтому векторное условие для моментов сил сводится к одному скалярному: в положении равновесия алгебраическая сумма моментов всех действующих на тело сил равна нулю. (При этом моменты, стремящиеся повернуть тело по часовой стрелке, берутся с одним знаком, против часовой стрелки - с противоположным.) Выбор точки, относительно которой рассматриваются моменты сил, производится исключительно из соображений удобства: уравнение моментов будет тем проще, чем больше сил будут иметь равные нулю моменты. Напомним, что модуль момента силы 𝐹 относительно точки 𝑂 равен произведению модуля силы 𝐹 на расстояние от точки 𝑂 до линии действия силы.