Равновесие бывает устойчивым, неустойчивым и безразличным. Равновесие устойчиво, если при малых смещениях тела из положения равновесия возникающие при этом силы стремятся вернуть его обратно, и неустойчиво, если силы уводят его дальше от положения равновесия. Если же при малых смещениях действующие на тело силы и их моменты по-прежнему уравновешиваются, то равновесие безразличное.
Устойчивому равновесию соответствует минимум потенциальной энергии тела по отношению к её значениям в соседних положениях тела. Этим свойством часто удобно пользоваться при отыскании положения равновесия и исследовании характера равновесия. Во многих задачах статики, как и в других разделах физики, часто оказывается весьма эффективным использование закона сохранения энергии.
1. Лестница у стенки.
Лестница прислонена к наклонной стенке, образующей угол β с вертикально (рис. 1.1). При каком коэффициенте трения лестницы о стенку возможно равновесие даже в том случае, когда пол идеально гладкий?
Рис. 1.1. Лестница у наклонной стенки
△ Прежде всего отметим, что лестница, прислонённая к вертикальной стенке, вообще не может находиться в равновесии, если нет трения о пол, - она обязательно соскользнёт по стенке. Более того, если как следует подумать, то можно доказать, что верхний конец лестницы при таком соскальзывании обязательно отделится от стенки раньше, чем лестница окажется на полу.
Рис. 1.2. В отсутствие трения о пол такое равновесие невозможно
Невозможность равновесия у вертикальной стенки на гладком полу можно сразу увидеть, если взглянуть на рис. 1.2: нормальная сила реакции стенки 𝑵₂ обязательно должна быть отлична от нуля, ибо иначе не будет уравновешен момент силы тяжести 𝑚𝒈 относительно точки 𝐴; но сама сила 𝑵₂ может быть уравновешена только горизонтально направленной силой трения о пол.
Рис. 1.3. В равновесии равнодействующая сил 𝑵₂ и 𝑭тр направлена вертикально
А вот равновесие у наклонной шероховатой стенки возможно и на идеально гладком полу. Однако для этого коэффициент трения лестницы о стенку должен быть достаточно большим. Посмотрим на рис. 1.3. Поскольку силы 𝑚𝒈 и 𝑵₁ направлены вертикально, то в равновесии горизонтальные составляющие силы 𝑵₂ и 𝑭тр должны быть равны:
𝑁₂
cos β
=
𝐹
тр
sin β
.
(1)
Сила трения покоя 𝐹тр максимальна на пороге проскальзывания, когда её значение равно μ𝑁₂. Из формулы (1) в этом случае находим
μ
=
ctg β
.
(2)
Формула (2) даёт минимальное значение коэффициента трения μ, при котором возможно равновесие у наклонной стенки с углом β в отсутствие трения о пол. При этом лестница как бы цепляется за шероховатую стенку, хотя другим концом она, конечно, давит на гладкий пол.
Кстати, почему мы так уверенно говорим, что соотношение (2) - это и есть условие равновесия? Ведь мы ещё не выяснили, что при этом будут уравновешены и вертикальные составляющие всех действующих сил. Подумайте над этим сами. В конечном счёте всё объясняется тем, что в условие (1) никакие другие силы, кроме 𝑵₂ и 𝑭тр не входят.
Обратим внимание на то, что условие равновесия лестницы не зависит ни от того, насколько наклонена сама лестница, ни от того, в каком месте приложена сила тяжести 𝑚𝒈 и каково её значение. Это означает, что лестница будет в равновесии и в том случае, когда на ней в любом месте стоит человек.
И последнее. Условие (2), как легко видеть, совпадает с хорошо известным условием равновесия тела на наклонной плоскости. Наклонённую на угол β стенку можно рассматривать как плоскость, которая образует угол α=π/2-β с горизонтом, и условие (2) записывается в виде μ=tg α Как по-вашему, это просто совпадение или в этом есть определённый физический смысл? ▲
2. Заклинивание.
Посмотрите на рис. 2.1. Опирающаяся на доску тяжёлая балка может поворачиваться в шарнире 𝐴 вокруг горизонтальной оси. Какую горизонтальную силу нужно приложить к доске, чтобы выдернуть её влево? вправо? Известны все величины, указанные на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Тяжёлая балка шарнирно закреплена в точке 𝐴
△ Рассмотрим прежде всего действующие силы.
На балку действуют сила тяжести 𝑚𝒈, нормальная сила реакции доски 𝑵, сила трения со стороны доски 𝑭, направленная в сторону движения доски, и сила реакции шарнира. Направление последней силы заранее не известно, но оно и не понадобится, так как мы будем рассматривать моменты сил, действующих на балку, относительно оси вращения. Тогда условие равновесия моментов действующих на балку сил имеет вид
𝑚𝑔
2
sin β
-
𝑁sin β
±
𝐹cos β
=
0.
(1)
Рис. 2.2. Силы, действующие при движении доски влево (а) и вправо (б)
Знак плюс соответствует движению доски влево (рис. 2.2а), знак минус - движению вправо (рис. 2.2б). Силы, действующие на доску, изображены на рис. 2.2, где 𝑚₁𝒈 - сила тяжести, 𝑭₁ - сила трения доски о пол, 𝑻 - внешняя сила, с которой мы тянем (эта сила будет наименьшей, если доска движется равномерно). На основании второго закона Ньютона в этом случае имеем
𝑇
-
𝐹
-
𝐹₁
=
0,
(2)
𝑁₁
-
𝑚₁𝑔
-
𝑁
=
0.
(3)
Вид уравнений (2) и (3) не зависит от того, в какую сторону движется доска.
На основании закона Кулона - Амонтона
𝐹
=
μ𝑁
,
𝐹₁
=
μ₁𝑁₁
.
(4)
С помощью первого из соотношений (4) и уравнения (1) определяем 𝐹 и 𝑁. Теперь становится совершенно понятным, почему можно было ограничиться только уравнением моментов сил, действующих на балку: по условию задачи нас интересует только движение доски, а её взаимодействие с балкой описывается двумя силами 𝐹 и 𝑁, которые удаётся определить из написанных соотношений. Итак,
𝑁
=
sin β
sin β±μ cos β
𝑚𝑔
2
.
Для нахождения силы 𝑇 нужно подставить в уравнение (2) вместо 𝐹 и 𝐹₁ их выражения (4). При этом 𝑁₁ выражается из соотношения (3) через силу 𝑁, которая уже найдена. Проделав всё это, получаем
𝑇
=
μ₁𝑚₁𝑔
+
μ₁+μ
1±μ ctg β
𝑚𝑔
2
.
(5)
Напомним, что верхний знак соответствует движению доски влево, нижний - вправо. Однако второй случай - движение вправо - требует дополнительного исследования, ибо при μ ctg β=1 знаменатель дроби обращается в нуль; при этом 𝑇→∞. А что, если μ ctg β > 1? Нетрудно сообразить, что если μ ctg β стремится к единице со стороны меньших значений, необходимая сила 𝑇 неограниченно возрастает, и при μ ctg β = 1 происходит заклинивание. Совершенно очевидно, что если теперь увеличить μ или ctg β, чтобы μ ctg β стало больше единицы, то доска тем более останется на месте. Поэтому правильный ответ при движении доски вправо выглядит так: