-𝐹⋅2
Δ
𝑥
=
𝑚𝑔
cos θ⋅
Δ
𝑦
+
𝑚𝑔
sin θ⋅3
Δ
𝑥
.
(1)
Для нахождения силы 𝐹 нужно найти связь между перемещениями Δ𝑥 и Δ𝑦. Проще всего это сделать, выразив их через изменение Δα угла α. В системе координат, показанной на рис. 7.2а, координаты вершин треугольника до перемещения брёвен равны
𝑥
=
𝑎 cos α
,
𝑦
=
𝑎 sin α
.
(2)
После перемещения
𝑥
+
Δ
𝑥
=
𝑎
cos(α+
Δ
α)
,
𝑦
+
Δ
𝑦
=
𝑎
sin(α+
Δ
α)
.
(3)
Используя формулы для синуса и косинуса суммы двух углов и учитывая, что при малых Δα значения cos Δα≈1, sin Δα≈Δα, с помощью выражений (2) и (3) находим
Δ
𝑥
=-
𝑎 sin α⋅
Δ
α
,
Δ
𝑦
=
𝑎 cos α⋅
Δ
α
.
(4)
Подставляя (4) в соотношение (I), получаем выражение для силы 𝐹;
𝐹
=
𝑚𝑔
2
(
cos θ ctg α
-
3 sin θ
).
Угол а здесь следует положить равным 60°, так как нужно определить силу 𝐹, не позволяющую брёвнам раскатываться. Поэтому
𝐹
=
𝑚𝑔
2
⎛
⎜
⎝
1
√3
cos θ
-
3 sin θ
⎞
⎟
⎠
.
(5)
Проанализируем полученный ответ. Если угол наклона кузова лежит в интервале 0<θ<arctg(1/3√3), то сила 𝐹>0, т.е. брёвна действительно нужно удерживать: если силу 𝐹 убрать, то брёвна раскатятся. При θ₁=arctg(1/3√3) сила 𝐹 обращается в нуль. При таком угле θ₁ брёвна не раскатятся, даже если их не подпирать. Если θ₁<θ<30°, то сила 𝐹 согласно формуле (5) отрицательна. Это означает, что брёвна не раскатятся, даже если бревно 3 вытягивать вдоль дна кузова с силой, меньшей |𝐹|. Таким образом, θ₁ представляет собой наименьший угол, при котором брёвна не раскатываются в отсутствие удерживающей силы 𝐹. ▲
8. Канат на тумбе.
При причаливании к пристани можно остановить движение даже очень большого судна, не прилагая для этого больших усилий. Брошенный с парохода на пристань канат оборачивают несколько раз вокруг тумбы, и тогда оказывается достаточным приложить к свободному концу каната совсем небольшое усилие, чтобы проскальзывающий по тумбе канат остановил и удержал огромный пароход. Рассчитать, во сколько раз действующая на пароход со стороны каната сила превосходит приложенное к свободному концу каната усилие, если канат трижды обернут вокруг тумбы, а коэффициент трения каната о тумбу равен μ.
Рис. 8.1. На элемент каната Δ𝑙 со стороны соседних участков действуют силы, равные по модулю 𝑇 и 𝑇+Δ𝑇
Рис. 8.2. К вычислению нормальной силы реакции Δ𝑵
△ Огромный выигрыш в силе достигается здесь благодаря трению витков каната о поверхность тумбы. Рассмотрим небольшой элемент Δ𝑙 витка каната на тумбе, характеризуемый углом Δα (рис. 8.1). На этот элемент со стороны соседних участков каната действуют упругие силы натяжения, равные 𝑇 и 𝑇+Δ𝑇 и направленные по касательным к поверхности тумбы на концах выделенного участка. Интересующее нас различие модулей этих сил Δ𝑇 обусловлено действием на этот элемент силы трения скольжения Δ𝐹тр. Равнодействующая сил натяжения имеет также составляющую, направленную по радиусу к центру тумбы. Эта составляющая уравновешивается нормальной к элементу Δ𝑙 силой реакции тумбы Δ𝑵. Как видно из построения на рис. 8.2, в котором учтено, что для малого элемента витка Δ𝑙 отношение Δ𝑇/𝑇≪1, модуль силы Δ𝑵 приближённо равен
Δ
𝑁
≈
𝑇
Δ
α
.
(1)
Модуль силы трения скольжения Δ𝐹тр связан с модулем нормальной силы реакции Δ𝑁, как обычно, соотношением
Δ
𝐹
тр
=
μ
Δ
𝑁
.
(2)
Подставляя сюда Δ𝑁 из формулы (1) и учитывая, что
Δ
𝐹
тр
=
Δ
𝑇
,
получаем
Δ
𝑇
=
μ𝑇
Δ
α
.
(3)
Будем теперь рассматривать силу натяжения каната 𝑇 как функцию угла α. Тогда, переходя в выражении (3) к пределу при Δα→0 и учитывая, что предел отношения Δ𝑇/Δα при Δα→0 есть 𝑇'(α) - производная от функции 𝑇(α) по α, получим дифференциальное уравнение
𝑇'(α)
=
μ𝑇(α)
.
(4)
Такое уравнение, в котором производная от искомой функции пропорциональна самой функции, как известно из школьного курса математики, имеет решение
𝑇(α)
=
𝐶𝑒
μα
.
(5)
Как видно из самого решения, постоянная 𝐶 имеет смысл силы натяжения каната 𝑇₀ при α=0, т.е. усилия, приложенного к свободному концу каната. Поэтому
𝑇(α)
=
𝑇₀
𝑒
μα
.
(6)
Из этого выражения видно, что отношение силы натяжения 𝑇(α₁) на одном конце каната (т.е. при α=α₁,) к силе натяжения 𝑇₀ на другом конце, равное 𝑒μα₁ не зависит ни от диаметра, ни от толщины каната, а определяется только коэффициентом трения μ и числом оборотов 𝑛=α₁/2π.
Экспоненциальная функция
𝑒
μα₁
=
𝑒
2πμ𝑛
растёт очень быстро. При целых 𝑛 это просто геометрическая прогрессия со знаменателем 𝑒2πμ Например, даже при μ, равном всего 0,1, после одного оборота (𝑛=1) сила натяжения каната возрастает в 𝑒2πμ≈𝑒0,63≈1,87 раза, а после трёх оборотов - в 𝑒2πμ⋅3≈6,55 раза.
Следует отметить, что описанный способ преобразования силы является существенно необратимым, в отличие от простых механизмов, таких как рычаг, ворот, тали и т. п. Поэтому таким способом можно только останавливать или удерживать корабль, но нельзя, например, подтягивать его к берегу. Однако если привести тумбу во вращение с помощью двигателя, то описанным способом можно подтягивать корабль к берегу. Лебёдки, в которых используется этот принцип (кабестаны), широко распространены во флоте. ▲
IV. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ
Основной закон гидростатики - это закон Паскаля, согласно которому в состоянии равновесия давление 𝑝 в жидкости (или газе) не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.
Если несжимаемая жидкость находится в однородном поле тяжести, то гидростатическое давление на глубине ℎ равно ρ𝑔ℎ где ρ - плотность жидкости. Наличие обусловленного полем тяжести гидростатического давления приводит к тому, что на погружённое в жидкость (или газ) тело действует выталкивающая сила. Эта сила направлена вертикально вверх, а её модуль равен весу жидкости, объём которой совпадает с объёмом погружённой в жидкость части тела. В этом заключается закон Архимеда.
При стационарном движении жидкости, когда линии тока не меняются со временем и совпадают с траекториями частиц жидкости, через любое поперечное сечение потока в единицу времени проходит одно и то же количество жидкости. Для несжимаемой жидкости это условие выражается уравнением неразрывности: