Рис. 3.2. Циклоида как траектория точки обода катящегося колеса
Циклоиду можно рассматривать как траекторию какой-либо точки обода колеса, которое катится без проскальзывания по прямой. На рис. 3.2 показана циклоида, которую «вычерчивает» точка 𝐴, находившаяся внизу в начальный момент. Точка 𝐴 описывает данную циклоиду независимо от того, катится ли колесо равномерно или с ускорением, важно только, чтобы оно не проскальзывало. Проще всего рассмотреть, разумеется, равномерное качение колеса. Такое качение получается в результате сложения равномерного вращения колеса вокруг оси и равномерного поступательного движения, линейная скорость которого 𝑣 равна произведению угловой скорости на радиус колеса 𝑟.
Во всех инерциальных системах отсчёта материальная точка имеет одно и то же ускорение. Поэтому находить его можно в любой такой системе отсчёта. Ясно, что ускорение точек обода колеса связано только с его вращением вокруг оси. Поэтому ускорение 𝑎 любой точки обода направлено по радиусу к центру колеса и определяется выражением
𝑎
=
𝑣²
𝑟
.
(1)
Значит, и в высшей точке циклоиды ускорение элемента обода колеса равно 𝑣²/𝑟 и направлено вниз (рис. 3.2).
Теперь рассмотрим движение этой же точки обода как движение по циклоиде. Скорость в любой точке траектории направлена по касательной к ней; значит, в высшей точке циклоиды скорость направлена горизонтально. Ускорение же, как мы выяснили, направлено вертикально вниз, т.е. перпендикулярно скорости. Поэтому найденное выше ускорение может быть записано также в виде
𝑎
=
𝑉²
𝑅
,
(2)
где 𝑉 - скорость точки обода в её верхнем положении, а 𝑅 - искомый радиус кривизны циклоиды.
Для нахождения 𝑉 будем рассуждать следующим образом. Скорость любой точки обода катящегося колеса равна векторной сумме скорости поступательного движения колеса и линейной скорости вращения вокруг оси. При отсутствии проскальзывания эти скорости равны по модулю. В верхней точке они и направлены одинаково. Поэтому 𝑉=2𝑣, и, сравнивая формулы (1) и (2), находим
𝑅
=
4𝑣
.
(4)
Радиус кривизны циклоиды в верхней точке равен удвоенному диаметру колеса. Если бы мы рассматривали качение колеса как вращение вокруг мгновенной оси, совпадающей в каждый момент с нижней неподвижной точкой колеса (рис. 3.2), то могло бы показаться, что верхняя точка движется по окружности, радиус которой равен диаметру колеса. Так оно и было бы, если бы мгновенная ось вращения 𝑂 оставалась неподвижной. На самом деле эта ось перемещается вместе с колесом, и именно поэтому рассматриваемая точка обода 𝐴 движется в этот момент по окружности, радиус которой даётся формулой (3). ▲
4. Падающий мяч.
Заброшенный в кольцо баскетбольный мяч начинает отвесно падать из корзины без начальной скорости. В тот же момент из точки, находящейся на расстоянии 𝑙 от кольца, в падающий мяч бросают теннисный мяч (рис. 4.1). С какой начальной скоростью был брошен теннисный мяч, если мячи столкнулись на расстоянии ℎ от кольца?
Рис. 4.1. Падающий мяч
△ В поставленном вопросе подразумевается, что нужно найти вектор начальной скорости теннисного мяча, т.е. его направление (угол α) и модуль (𝑣₀). Если решать задачу в исходной (лабораторной) системе отсчёта, то ход рассуждений может быть следующим. Записываем выражения для перемещений обоих мячей за время 𝑡 от начала движения до их встречи, затем проецируем их на вертикальное и горизонтальное направления (рис. 4.2). В результате приходим к системе уравнений
ℎ
=
𝑔𝑡²
2
,
𝐻
-
ℎ
=
𝑣₀
sin α⋅𝑡
-
𝑔𝑡²
2
,
√
𝑙²-𝐻²
=
𝑣₀
cos α⋅𝑡
.
(1)
Здесь 𝐻 - высота кольца над точкой бросания теннисного мяча, а √𝑙²-𝐻² представляет собой расстояние до кольца по горизонтали (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Проекции перемещений мячей
В системе трёх уравнений (1) четыре неизвестных величины: 𝑣₀, α, 𝑡 и 𝐻. Поэтому может показаться, что задача не имеет единственного решения. Однако это не так. Действительно, подставляя ℎ из первого уравнения во второе, получаем
𝐻
=
𝑣₀
sin α⋅𝑡
.
(2)
Разделив почленно это уравнение на третье уравнение системы (1), находим выражение для tg α:
tg α
=
𝐻
√𝑙²-𝐻²
.
(3)
Теперь с помощью рис. 4.2 можно увидеть, что угол α, под которым должна быть направлена начальная скорость теннисного мяча, в действительности соответствует направлению из точки бросания на кольцо. Истинное направление начальной скорости 𝒗₀ показано на рис. 4.3. Итак, бросать теннисный мяч нужно точно в направлении кольца. Модуль его начальной скорости можно найти, подставляя 𝑡=√2ℎ/𝑔 из первого уравнения системы (1) в уравнение (2). Учитывая, что 𝐻/sin α=𝑙, получаем
𝒗₀
=
𝑙
𝑡
=
𝑙
√
2ℎ/𝑔
.
(9)
Рис. 4.3. Истинное направление вектора 𝑣₀ начальной скорости
Но всех этих преобразований можно избежать, если с самого начала перейти в систему отсчёта, связанную с баскетбольным мячом, т.е. свободно падающую с ускорением 𝒈 в этой системе отсчёта баскетбольный мяч, естественно, неподвижен, а теннисный движется равномерно и прямолинейно со скоростью 𝒗₀. Очевидно, что эта скорость 𝒗₀ должна быть направлена на баскетбольный мяч. Через время 𝑡=𝑙/𝑣₀ мячи столкнутся. В лабораторной системе отсчёта за это время баскетбольный мяч опустится на расстояние
ℎ
=
𝑔𝑡²
2
=
𝑔
2
⎛
⎜
⎝
𝑙
𝑣₀
⎞²
⎟
⎠
,
(5)
откуда для 𝑣₀ получаем прежнее выражение (4). На примере этой задачи мы видим, что в некоторых случаях удобным оказывается переход в ускоренно движущуюся систему отсчёта. ▲
5. В цель с наименьшей начальной скоростью.
Необходимо с поверхности земли попасть камнем в цель, которая расположена на высоте ℎ и на расстоянии 𝑠 по горизонтали. При какой наименьшей начальной скорости камня это возможно? Сопротивлением воздуха пренебречь.
△ На первый взгляд кажется, что начальная скорость камня будет наименьшей, если верхняя точка его траектории совпадает с мишенью (рис. 5.1а).
Рис. 5.1. К выбору оптимальной траектории
Может быть, и вам так показалось? Иллюзия эта настолько сильна, что подобное решение аналогичной задачи можно встретить в некоторых солидных пособиях по решению физических задач. Однако, даже не решая задачи, легко убедиться, что это не так. Действительно, будем мысленно уменьшать высоту, на которой расположена цель. При этом точка, куда попадает камень, продолжает согласно предположению оставаться верхней точкой траектории (рис. 5.1б), в том числе и в предельном случае ℎ=0. Но совершенно очевидно, что для того чтобы попасть в цель, находящуюся на земле, достаточно просто добросить камень до цели (рис. 5.1б). Итак, предположение о том, что цель совпадает с высшей точкой траектории полёта камня, неверно.