Томсон (в центре) с физиком Николсом и дипломатом Шурманом в Корнелльском университете, США.
Томсон с супругой в день обретения ученым дворянского титула. Фотография 1892 года.
Томсон и его супруга на железнодорожном заводе.
Условия, взятые Томсоном за основу для осуществления расчетов о возрасте Земли, позволили ему рассматривать очень простую модель, схематически представленную на рисунке. Земля после образования имела однородную температуру Т0 и взаимодействовала со средой с постоянной температурой Тсреда. Первым шагом был расчет температуры τ(х, t) в любой точке земного объема, расположенной на расстоянии х от поверхности по истечении времени t от начального момента. Для этого Томсону нужно было только решить уравнение теплопроводности Фурье
∂τ(x,t)/∂t = κ · ∂2τ(x,t)/∂x2,
где κ — термодиффузия. Томсон предложил в качестве решения этого уравнения функцию
Здесь ν0 = (T0 + Тсреда)/2, а V = (Т0 - Тсреда)/2. Простой расчет позволяет проверить, что это решение действительно удовлетворяет дифференциальному уравнению. Кроме того, видно, что при начальном состоянии, t = 0, все внутренние точки земного объема (то есть при х > 0, справа от земной поверхности на рисунке) имеют температуру T0, а все внешние относительно Земли точки (то есть при х < 0, слева от земной поверхности на рисунке) имеют температуру Тсреда. Таким образом, можно вычислить температурный градиент, γ(x, t), в любой точке, то есть коэффициент изменения температуры в этой точке на единицу длины, перпендикулярной плоскости поверхности, который будет равен
а на земной поверхности, то есть для х = 0, он равен
γ(0,t) = V/√(πκt)
Если выделить t в этом уравнении и учитывать, что поскольку T0 (порядка нескольких тысяч °С) намного больше Tсреда (порядка нескольких десятков °С), V ~ Т0, то получается
Теперь достаточно подставить значения, указанные в тексте (κ = 10-6 м2 с-1, T0 = 4000 °С и γ(0, t) = 35 °С/км), чтобы получить для t 130 миллионов лет, предложенные Томсоном.
На самом деле Томсон определил диапазон от нескольких десятков до нескольких сотен миллионов лет, поскольку учел возможные погрешности экспериментальных данных, использованных для расчета. Через некоторое время он пересмотрел свои вычисления и свел оценку к 20 миллионам лет.
Томсон доверял своей оценке возраста Земли в свете другого результата, который он сам получил немного ранее. Это очень важно для науки, поскольку если один и тот же результат можно найти двумя различными способами, не связанными между собой, достоверность этого результата растет. Воспроизводимость научных результатов - один из столпов, на которых основывается наука, и обязательный элемент ее развития.
Томсон изучал происхождение тепла, испускаемого Солнцем, и предположил, что время, в течение которого оно освещает Землю, и возраст нашей планеты должны быть одного и того же порядка. В соответствии с данными, доступными к 1850 году, было возможно вычислить (по крайней мере приблизительно) норму выработки тепла Солнцем. Но задача состояла в том, чтобы выяснить, обладает ли Солнце невозобновляемым источником тепла, ресурс которого истощается с момента образования светила, и, кроме того, может ли какой-то внешний процесс увеличивать этот запас тепла так, чтобы тепловая радиация могла поддерживаться в течение большего или меньшего времени.
За несколько лет до этого, в 1843 году, Джоуль экспериментально установил механический эквивалент тепла, доказав, что энергия тела, которое падает и сталкивается с другим, может быть трансформирована в тепло. На основе этой идеи некоторые ученые предположили, что возможный механизм производства солнечного тепла состоит в постоянном воздействии на Солнце метеоритов. Томсон вычислил, что в соответствии с солнечным теплом, измеряемым на поверхности Земли, норма материи, которая должна была действовать на Солнце, составляла бы примерно 5 кг в час (примерно 45 тонн в год), а поскольку масса светила - примерно 2 х 1030 кг, этот поток материи, влияющей на Солнце, мог бы сохраняться в течение миллионов лет. При этом изменение размера звезды было бы с Земли незаметно.