Психолог и философ Лопатин — аскет, нестяжатель, отдавший всего себя науке, станет для Флоренского высшим воплощением учёного, сыграет для него большую роль в восприятии философии Нового времени. Лопатин сумеет изменить вектор философских воззрений не только Московского университета, но и всей русской мысли рубежа XIX — ХХ веков. Лопатин сведёт русскую философию с тупикового пути эмпиризма и позитивизма и обратит её к метафизике. Внутренний голос, что когда-то на берегу Куры, сопротивляясь эмпирическому и позитивистскому главенству в науке, говорил Флоренскому: «это вздор!», оказался так похож на голос Лопатина.
Но главное открытие для Флоренского на первом курсе — это Николай Васильевич Бугаев. Декан физико-математического факультета, президент Московского математического общества, учёный, ради трудов которого американские математики в ХХ веке учили русский язык, поражённые тем, что математика Бугаева — это, прежде всего, социальная антропология и в центре её не число, а «самодеятельный и самостоятельный индивидуум», не мыслящий субъект, а «духовная единица». Отец поэта Андрея Белого, с кем Флоренский станет очень дружен уже после смерти профессора и с кем вместе сопряжёт математические идеи Бугаева и идеи символизма. Большой патриот Отечества, Бугаев всегда был верен принципу: «жить — Богу служить». Бугаев — философ и поэт математики: свои лекции он наполнял множеством примеров из истории и литературы. «Высшая математика есть самая высокая музыка, самое высокое искусство, это гармония общих идей и интуиций», — говорил он.
Идея прерывных математических функций, идея аритмологии, которую Бугаев проецировал из математики на все области знаний, поразила и вдохновила Флоренского. Если не углубляться в математические тонкости, а перевести аритмологию Бугаева на гуманитарный язык, суть её примерно в следующем. В науке существуют два принципа познания, которые должны стремиться не к противопоставлению, а к взаимодополнению, — анализ и аритмология. Первый принцип предполагает, что всё в мире подчинено поступательному, непрерывному, эволюционному развитию. Второй принцип утверждает, что бывает и скачкообразное, прерывистое, революционное развитие. Если наука путём анализа смогла описать течение конкретного процесса, это не значит, что при других условиях в подобном процессе не будет изменений. Так, например, какие закономерности ни выводи из хода истории, масштабная историческая личность всегда может нарушить эти закономерности: «прерывность всегда обнаруживается там, где проявляется самостоятельная индивидуальность». В аритмологии важны не только причинно-следственные связи, но и цели. Важны не только вопросы «что?» и «почему?», но и вопрос «ради чего?». Оттого в науке начинают действовать этические и даже эстетические категории. Аритмологию Бугаева можно проиллюстрировать богословским суждением современника Флоренского С. Н. Дурылина: в православии единица всегда может стать равна миллиону, когда уверовавший разбойник оказывается со Спасителем в раю. Аритмология Бугаева — это возможность единицы в одночасье стать равной миллиону.
Идея прерывности так или иначе будет присутствовать во всех работах Флоренского — физических, инженерных, богословских, лингвистических, искусствоведческих. Он с восторгом пишет отцу о первом знакомстве с Бугаевым, называет математику «ключом к мировоззрению», для которого «нет ничего настолько неважного, чем не надо было бы заниматься, нет ничего не стоящего в связи с другим». В математике Флоренский прозревает возможность соловьёвского «всеединства», грядущий «великий синкретизм»: все нынешние знания человечества когда-то вышли из единой точки, пошли своими путями, стали вступать в противоборство; теперь же им предстоит примириться, снова сойтись. Такой точкой, примиряющей силой станет именно математика. Именно она согласует этику и эстетику с натурфилософией, выведет религию из «коморки» и поставит в центр научных знаний, а науку наполнит метафизическими смыслами. Математика — та самая истина для человеческого ума, которая живёт во всём и вбирает в себя всё.
С этой мысли начинается самозабвенная учёба Флоренского в университете, стремление «черпать истину отовсюду, где бы она ни находилась». Всё идёт размеренно, заведённым порядком, но аритмология Бугаева доказывает свою правоту, когда начинаются студенческие волнения 1901 года.