Но среди постулатов Евклида было слабое звено — пятый постулат. Он стал одним из самых обсуждаемых в истории математики, предметом споров, длившихся более 2000 лет, и той трещиной, которая разрушила все здание.
Неевклидова геометрия — это любая геометрическая система, отрицающая истинность пятого постулата. Если вспомнить, что евклидова геометрия на протяжении 2000 лет считалась единственно возможным геометрическим подходом к изучению окружающего нас мира, то становится понятно: для ее отрицания требовалась определенная интеллектуальная дерзость. Создание таких альтернативных геометрий, казалось, могло быть только математической игрой, забавой. И действительно, сначала дело обстояло именно так, но со временем эти геометрии стали мощным инструментом не только в математике (в таких областях, как динамические системы, автоморфная функция, теория чисел), они оказались необходимой системой измерений во многих областях современной физики.
В рамках евклидовой геометрии мы оперируем элементами, которые непосредственно принадлежат этому виду геометрии, — точками, прямыми, плоскостями, углами и так далее, а также преобразованиями, которые можно применить к этим элементам. Мы можем переносить их из одного места в другое, вращать их, удлинять, укорачивать или придавать им определенную симметрию. Некоторые преобразования обратимы, то есть если в ходе преобразования из точки А мы переходим в точку В, то существует и другое преобразование, которое приводит нас из точки В в точку А. Также, применяя два преобразования подряд, мы можем получить еще одно преобразование. Если имеется совокупность преобразований, отвечающих этому критерию (и еще нескольким, но в данном случае это не важно), то она называется группой преобразований. Некоторые объекты, с которыми мы имеем дело в геометрии, могут быть в большей или меньшей степени подвергнуты таким преобразованиям.
Предположим, что мы должны перенести окружность. Ее центром является определенная фиксированная точка, но при переносе она меняется. Если же мы оставим центр на месте и уменьшим длину окружности, изменится ее радиус. Но при всех этих преобразованиях одно свойство остается неизменным — соотношение между длиной окружности и ее диаметром. Феликс Клейн заметил, что изучение таких инвариантных свойств было определяющей характеристикой конкретного типа геометрии, в рамках которой можно сравнивать фигуры с одинаковыми свойствами. Тогда он предложил более общее и более абстрактное определение геометрии: она определялась парой (X; G), гдеХ — множество объектов, a G — множество преобразований, применяемых к ним. Все известные геометрии — евклидова, проективная, гиперболическая и так далее — попадали под эту классификацию. Она также открывала путь новым геометрическим системам, поскольку множество объектов X могло состоять из абсолютно любых типов элементов. Клейн изложил свои идеи в докладе «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований», представленном в 1872 году на математической кафедре Эрлангенского университета. Позднее доклад стал известен в математических кругах как Эрлангенская программа Феликса Клейна.
Открытка 1916 года, на которой изображена улица на территории Эрлангенского университета.
Если речь идет об относительно небольших расстояниях, евклидова и неевклидова геометрии практически эквивалентны. Однако если рассматривать расстояния в астрономии или в некоторых системах современной физики (теории относительности или теории распространения волн), неевклидовы геометрии оказываются более точным инструментом.
В свете этого ученые заключили, что гиперболическая геометрия — один из видов неевклидовой — не менее обоснована, чем евклидова; другими словами, если в гиперболической геометрии и есть противоречия, то они есть и в геометрии Евклида. Последующее развитие теоретической физики показало, что евклидова геометрия необязательно наиболее соответствует «реальности».