Первая теорема Гёделя гласит, что в любой системе аксиом, к которой можно отнести арифметику целых чисел, существуют верные предложения, которые невозможно доказать в рамках этой системы. То есть если арифметическая теория непротиворечива, то она неполная. Это равноценно утверждению, что совершенной системы аксиом, включающей арифметику натуральных чисел, не существует, так как она либо противоречивая, либо неполная.
Фон Нейман, принимавший участие в знаменитом конгрессе в Кёнигсберге, сразу же заинтересовался идеями Гёделя. Сам фон Нейман установил систему аксиом для теории множеств и считал, что тема закрыта. Но ученому пришлось признать, что его система была неполной: не потому, что в ней были недостатки, а потому что любая такая система является неполной по определению. Фон Нейман не только согласился с этим, но и за рекордно короткий срок, всего за месяц, подготовил для Гёделя следствие его теоремы, которое стало известно как вторая теорема Гёделя. Согласно ей если арифметическая теория непротиворечива, то в ее рамках нет ни одного доказательства, что она таковой является. Эта вторая теорема немного запутанная, и из нее следует, что если теория вмещает в себя арифметику натуральных чисел, она не может подтвердить сама себя, то есть утверждать «теория Т непротиворечива». Для этой теории было разработано несколько символов; чтобы выразить утверждение «теория Т непротиворечива», можно записать, например, С(Т). Согласно второй теореме Гёделя, если Т непротиворечива, то С(Т) нельзя доказать на основе Т.
Австрийско-американский математик, логик и философ Курт Гёдель (1906- 1978) был младшим из двух сыновей Рудольфа и Марианны Гёделей, немецких иммигрантов, работавших в текстильной промышленности. После окончания учебы в Королевской гимназии Брно Курт в 1924 году уехал учиться в Венский университет. Он поступал туда с четкой целью изучать физику, но под влиянием преподавателей Филиппа Фуртвенглера и Ханса Хана занялся математикой. Уже в то время Гёдель страдал ревматической лихорадкой, и эта болезнь наложила свой отпечаток на характер ученого: он испытывал маниакальное волнение за свое здоровье и главным образом за все, что касалось питания. В 1920-е годы, несмотря на глубокий экономический кризис, Венский университет был культурным и научным центром страны. В 1926 году Гёдель был приглашен на философский семинар в кружок Морица Шлика (1882-1936), который посещали такие физики и математики, как Рудольф Карнап (1891-1970), Ханс Хан (1879-1934), Фридрих Вайсман (1896-1959) и Отто Нейрат (1882-1945). Они впоследствии и составили знаменитый Венский кружок. Философ Карнап и математик Карл Менгер ввели Гёделя в математическую логику. В то время кружок пристально следил за работами Людвига Витгенштейна (1889-1951) о языке для описания языка (метаязыке), и этот подход Гёдель хотел применить к математике. Но ученый не полностью разделял научные воззрения в духе логического позитивизма, царившие в кружке. Он придерживался скорее обратной позиции — чистого платонизма. Гёдель считал, что истина существует независимо оттого, известна она нам или нет. В математике это означало, что теоремы не создаются, а открываются. Гёдель неоднократно подчеркивал, что к своим результатам он пришел, будучи вдохновленным этой платоновской метафизикой. В 1952 году Гарвардский университет наградил Гёделя степенью почетного доктора наук и назвал его «первооткрывателем самых важных математических истин этого столетия».
Курт Гёдель в период работы в Институте перспективных исследований в Принстоне (Нью- Джерси, США) в 1940-е годы.
Именно вторая теорема, которой сам Гёдель не придал большого значения и считал следствием первой, оказала наибольшее влияние на математическое научное сообщество. Ее всегда называли второй теоремой Іеделя, никогда не упоминая вклад фон Неймана.
Сегодня теории Гёделя обобщены и перенесены в самые разные области. Они применяются в информатике, особенно в случае невозможности решить проблему остановки. Эта проблема заключается в том, чтобы найти способ определить, может какой-либо компьютер с произвольным набором установленных программ остановиться после выполнения алгоритма или он зависнет. Еще одно следствие теоремы Гёделя для информатики относится к вирусам, так как доказывает, что «ни одна программа, которая не меняет операционную систему компьютера, не сможет определить все программы, которые ее меняют».
Гильберт довольно пессимистически отнесся к следствиям из теоремы Гёделя, так как очень надеялся на возможность установить такие основания математики, которые запустят самосозидательный процесс, и при помощи него, исходя из простых предложений, сформулированных в непротиворечивой логической системе, можно будет вывести сложные результаты. Гёдель не разделял этого пессимизма, так как не считал, что его теорема неполноты подразумевает ошибочность аксиоматического метода для развития теории математики. По его мнению, это был этап эволюции, на котором главную роль вновь начинала играть научная интуиция, как это и должно быть. Такой взгляд полностью соответствовал философии Гёделя, более близкой к платонизму, чем к логическому позитивизму «Разрушающее» значение его теорем заключалось в том, что механический, точный аспект математики уходил на второй план, выдвигая на первый воображение и интуицию, возвращая математике место духовных наук, которое принадлежало ей по праву, как музыке и философии.