Затем он проделал то же самое для столбцов, но наоборот. Найдем самое большое, то есть максимальное, число в каждом столбце. В первом это будет 3, во втором 8, в третьем -1. Теперь определим самое маленькое из них, минимакс, которым в этом случае будет -1. Таким образом, в этой игре максимин и минимакс совпали в -1. И не случайно, ведь именно это и утверждается в теореме фон Неймана: «В большинстве игр с двумя участниками и нулевой суммой максимин всех строк всегда совпадает с минимаксом столбцов», и оно будет значением игры при оптимальной стратегии для обоих игроков.
Этот результат, известный как первая теорема о минимаксе, был опубликован в статье 1928 года Ж теории стратегических игр». В ней фон Нейман заложил общие основы будущей теории игр. Важно подчеркнуть еще раз: для того чтобы удовлетворить условиям теоремы фон Неймана, оба игрока должны быть рациональными, заботиться исключительно о собственных интересах и очень тщательно анализировать свои возможные стратегии. Эти критерии выполняются не во всех играх. Например, если один из игроков — природа, то в силу вступают произвольные факторы, и этот противник, разумеется, не осуществляет никакого анализа.
Теория игр имела и продолжает иметь тесную связь с так называемыми военными играми. Одним из первых случаев, когда она была применена на войне, стало сражение в море Бисмарка, состоявшееся 23 декабря 1942 года, в котором столкнулись стратегии американского генерала Джорджа Кенни и контр-адмирала Масатоми Кимуры. В конце боя были потоплены все транспортные суда и половина японских кораблей. Благодаря критерию минимакса командование США выбрало оптимальную стратегию и установило новую доктрину для разведывательных полетов. Японский флот должен был выйти из порта Рабаул на северо-востоке острова Новая Британия и направиться в порт Лае для подкрепления. У контр-адмирала Масатоми Кимуры было два варианта: выбрать северный маршрут, пролегавший по морю Бисмарка, где обычно были очень плохие климатические условия, или южный, с более благоприятными. Генерал Кенни должен был сконцентрировать все самолеты-разведчики на одном из этих двух маршрутов, учитывая при этом количество дней, которое ему потребовалось на бомбардировку, как только были бы замечены японские корабли. Применив к платежной матрице критерий минимакса, авторы стратегии выяснили, что при выборе северного маршрута предполагаемое количество дней для бомбардировки в любом случае равнялось бы 2, поэтому был сделан выбор в пользу следующей стратегии.
Самолеты союзнической армии атакуют японский корабль во время сражения в море Бисмарка.
| Кимура | |||
| Северный маршрут | Южный маршрут | ||
| Кенни | Северный маршрут | 2 | 2 |
| Южный маршрут | 1 | 3 | |
Любой, кто рассматривает арифметические методы для получения произвольных цифр, разумеется, грешник.
Джон фон Нейман
Логично было бы ожидать от ученого, решившего исследовать теоретические загадки игр, выбора в качестве модели шашек или шахмат. Фон Нейман был очень хорошо знаком с этими играми еще с детства. И тем не менее в статье 1928 года, в которой он доказал теорему о минимаксе, приводится тщательный анализ игры в... покер. Широко известно, что фон Нейман очень любил эту игру, хотя не всегда добивался в ней больших успехов. По его мнению, самым интересным аспектом покера был блеф, который делал выбор стратегии еще более сложным. В покере гораздо труднее математически установить оптимальную стратегию по сравнению с играми с двумя участниками и нулевой суммой. Несмотря на это фон Нейман придумал упрощенный вариант покера, который позволил ему включить эту игру в свои исследования.
СЕДЛОВЫЕ ТОЧКИ
Представим, что игроки А и В участвуют в игре со следующей платежной матрицей.
| В1 | В2 | вз | |
| А1 | -3 | -1 | 4 |
| А2 | 3 | 0 | 1 |
| A3 | 3 | -1 | -4 |