После Первой мировой войны Венгрия пережила краткий, но кровавый период режима Белы Куна — военного, сражавшегося в австро-венгерской армии и побывавшего в российском плену, откуда он вернулся на родину убежденным коммунистом. В марте 1919 года Бела Кун захватил власть и начал претворять в жизнь теории Маркса и Ленина. Это означало передачу власти пролетариату, большая часть которого фактически была крестьянами, перераспределение благ и установление политического террора, осуществляемого комиссарами, которых назначал сам Кун. Вандализм и насилие со стороны членов его партии сделали Будапешт крайне опасным городом, и семья Нейманов уехала в Австрию. Яношу было тогда 14 лет. Кун оставался у власти на протяжении еще пяти месяцев, а в августе 1919 года был свергнут адмиралом Миклошом Хорти, который установил еще более жесткий, крайне правый режим. Красный террор сменился белым. Было убито более 5 тысяч человек и примерно 100 тысячам пришлось уехать из страны. Евреи были активными членами предыдущего правительства (8 из 11 комиссаров Куна), и Макс Нейман избежал опасности только потому, что всегда твердо выступал против режима Куна и к тому же принадлежал к аристократии. Безопасности его семьи в тот момент ничто не угрожало, но в обществе к евреям относились с подозрением. Именно тогда многие интеллектуалы еврейского происхождения решили эмигрировать в Германию.
Бела Кун выступает в городе Касса (современный Кошица в Словакии).
Как было принято в богатых семьях того времени, до десяти лет Янош занимался с учителями дома. Среднее образование он получил в Лютеранской гимназии Будапешта (Budapest- Fasori Evangelikus Gimnäzium), элитной школе, которая, хоть и относилась к лютеранской церкви (все частные школы тогда финансировались какой-либо церковью — христианской, коптской или лютеранской), была толерантна к представителям других верований. Помимо уроков Янош занимался с раввином, который дал ему начальные знания иврита и понятий иудейской культуры, содержащихся в Торе.
В этой школе Янош проучился восемь лет. Он отлично успевал, но не перескочил ни через один класс — это могло бы отдалить его от других ребят и противоречило педагогическому подходу самого Ласло Раца, его учителя по математике. В школе поощрялась командная работа, и товарищи Яноша, с одной стороны, завидовали ему, а с другой — восхищались его интеллектуальными способностями. Там же Янош познакомился с Юджином Вигнером, который учился на класс старше. Позже, в 1963 году, Вигнер получил Нобелевскую премию. Он вспоминал, что Яношу очень нравилось разговаривать с ним, преимущественно о математике, и во время их долгих прогулок он всегда пытался перевести разговор на теорию множеств, которой был очарован уже в то время.
Рац быстро разглядел одаренность Яноша и предложил его отцу составить для мальчика индивидуальный план занятий. Макс сразу же согласился. Рац переговорил с Йожефом Кюршаком, известным математиком из Будапештского университета, который выбрал для Яноша в качестве частного преподавателя молодого математика Михаэля Фекете (1886-1957). Они занимались до самого окончания средней школы. На последнем году школьного обучения Янош и Фекете опубликовали совместную статью об одной теореме математического анализа в журнале Jahresbericht der Deutsche Mathematiker-Vereinigung {«Ежегодный отчет Немецкого математического общества»).