Он смотрел на мозаику разноцветных камней, заполнивших пространство коробочки. Он приветствовал каждую знакомую фигуру как давнего друга. Глаза Дункана подернулись дымкой, и время покатилось назад. Бабушка ничуть не изменилась, а вот ему тогда было всего десять…
Глава7
КРЕСТ ИЗ ТИТАНИТА
— Ты уже достаточно большой мальчик, Дункан, и сумеешь понять эту игру… впрочем, она куда больше, чем игра.
Вопреки словам бабушки, игра не впечатлила Дункана. Ну что можно сделать из пяти белых пластмассовых квадратиков?
— Прежде всего, — продолжала бабушка, — тебе нужно проверить, сколько различных узоров ты сумеешь сложить из квадратиков.
— А они при этом должны лежать на столе? — спросил Дункан.
— Да, они должны лежать, соприкасаясь. Перекрывать один квадратик другим нельзя.
Дункан принялся раскладывать квадратики.
— Ну, я могу выложить их все в прямую линию, — начал он. — Вот так… А потом могу переложить две штуки и получить букву L… А если я возьмусь за другой край, то получится буква U…
Мальчик быстро составил полдюжины сочетаний, потом еще и вдруг обнаружил, что они повторяют уже имеющиеся.
— Может, я тупой, но это все.
Дункан упустил самую простую из фигур — крест, для создания которой достаточно было выложить четыре квадратика по сторонам пятого, центрального.
— Большинство людей начинают как раз с креста, — улыбнулась бабушка. — По-моему, ты поторопился объявить себя тупым. Лучше подумай: могут ли быть еще какие-нибудь фигуры?
Сосредоточенно двигая квадратики, Дункан нашел еще три фигуры, после чего прекратил поиски.
— Теперь уже точно все, — уверенно заявил он.
— А что ты скажешь про такую фигуру?
Слегка передвинув квадратики, бабушка сложила из них подобие горбатой буквы F.
— Ого!
— И вот еще одна.
Дункан чувствовал себя последним идиотом, и бабушкины слова легли бальзамом на его смущенную душу:
— Ты просто молодец. Подумаешь, упустил всего две фигуры. А общее число фигур равно двенадцати. Не больше и не меньше. Теперь ты знаешь их все. Ищи хоть целую вечность — больше не найдешь ни одной.
Бабушка смела в угол пять белых квадратиков и выложила на стол дюжину ярких разноцветных пластиковых кусочков. Это были те самые двенадцать фигур, но уже в готовом виде, и каждая состояла из пяти квадратиков. Дункан уже был готов согласиться, что никаких других фигур действительно не существует.
Но раз бабушка выложила эти разноцветные полоски, значит, игра продолжается, и Дункана ждал еще один сюрприз.
— А теперь, Дункан, слушай внимательно. Эти фигуры называются «пентамино». Название произошло от греческого слова «пента», что значит «пять». Все фигуры равны по площади, поскольку каждая состоит из пяти одинаковых квадратиков. Фигур двенадцать, квадратиков — пять, следовательно, общая площадь будет равняться шестидесяти квадратикам. Правильно?
— Мм… да.
— Слушай дальше. Шестьдесят — замечательное круглое число, которое можно составить несколькими способами. Самый легкий — умножить десять на шесть. Такую площадь имеет эта коробочка: по горизонтали в ней умещается десять квадратиков, а по вертикали — шесть. Стало быть, в ней должны уместиться все двенадцать фигур. Просто, как составная картинка-загадка.
Дункан ожидал подвоха. Бабушка обожала словесные и математические парадоксы, и далеко не все они были понятны ее десятилетней жертве. Но на сей раз обошлось без парадоксов. Дно коробки было расчерчено на шестьдесят квадратиков, значит… Стоп! Площадь площадью, но ведь фигуры имеют разные очертания. Попробуй-ка загони их в коробку!
— Оставляю тебе эту задачу для самостоятельного решения, — объявила бабушка, видя, как он уныло двигает пентамино по дну коробки, — Поверь мне, их можно собрать.
Вскоре Дункан начал крепко сомневаться в бабушкиных словах. Ему с легкостью удавалось уложить в коробку десять фигур, а один раз он ухитрился втиснуть и одиннадцатую. Но очертания незаполненного пространства не совпадали с очертаниями двенадцатой фигуры, которую мальчик вертел в руках. Там был крест, а оставшаяся фигура напоминала букву Z…
Еще через полчаса Дункан уже находился на грани отчаяния. Бабушка погрузилась в диалог со своим компьютером, но время от времени заинтересованно поглядывала на него, словно говоря: «Это не так легко, как ты думал».
В свои десять лет Дункан отличался заметным упрямством. Большинство его сверстников давным-давно оставили бы всякие попытки. (Только через несколько лет он понял, что бабушка изящно проводила с ним психологический тест.) Дункан продержался без посторонней помощи почти сорок минут…
Тогда бабушка встала от компьютера и склонилась над головоломкой. Ее пальцы передвинули фигуры U, X и L…
Дно коробки оказалось целиком заполненным! Все куски головоломки заняли нужные места.
— Конечно, ты заранее знала ответ! — обиженно протянул Дункан.
— Ответ? — переспросила бабушка. — А как ты думаешь, сколькими способами можно уложить пентамино в эту коробку?
Вот она, ловушка. Дункан провозился почти час, так и не найдя решения, хотя за это время он перепробовал не меньше сотни вариантов. Он думал, что существует всего один способ. А их может быть… двенадцать? Или больше?
— Так сколько, по-твоему, может быть способов? — снова спросила бабушка.
— Двадцать, — выпалил Дункан, думая, что уж теперь бабушка не будет возражать.
— Попробуй снова.
Дункан почуял опасность. Забава оказалась куда хитрее, чем он думал, и мальчик благоразумно решил не рисковать.
— Вообще-то, я не знаю, — сказал он, мотая головой.
— А ты восприимчивый мальчик, — снова улыбнулась бабушка. — Интуиций — опасный проводник, но порою другого у нас нет. Могу тебя обрадовать: угадать правильный ответ здесь невозможно. Существует более двух тысяч различных способов укладки пентамино в эту коробку. Точнее, две тысячи триста тридцать девять. И что ты на это скажешь?
Вряд ли бабушка его обманывала. Но Дункан был настолько раздавлен своей неспособностью найти решение, что не удержался и выпалил:
— Не верю!
Элен редко выказывала раздражение. Когда Дункан чем-то обижал ее, она просто становилась холодной и отрешенной. Однако сейчас бабушка лишь усмехнулась и что-то вы-стучала на клавиатуре компьютера.
— Взгляни сюда, — предложила она.
На экране появился набор из двенадцати разноцветных пентамино, заполняющих прямоугольник размером десять на шесть. Через несколько секунд его сменило другое изображение, где фигуры, скорее всего, располагались уже по-другому (точно сказать Дункан не мог, поскольку не запомнил первую комбинацию). Вскоре изображение опять поменялось, потом еще и еще… Так продолжалось, пока бабушка не остановила программу.
— Даже при большой скорости компьютеру понадобится пять часов, чтобы перебрать все способы, — пояснила бабушка. — Можешь поверить мне на слово: все они разные. Если бы не компьютеры, сомневаюсь, что люди нашли бы все способы обычным перебором вариантов.
Дункан долго глядел на двенадцать обманчиво простых фигур. Он медленно переваривал бабушкины слова. Это было первое в его жизни математическое откровение. То, что он так опрометчиво посчитал обыкновенной детской игрой, вдруг стало разворачивать перед ним бесконечные тропинки и горизонты, хотя даже самый одаренный десятилетний ребенок вряд ли сумел бы ощутить безграничность этой вселенной.
Но тогда восторг и благоговение Дункана были пассивными. Настоящий взрыв интеллектуального наслаждения случился позже, когда он самостоятельно отыскал свой первый способ укладки пентамино. Несколько недель Дункан везде таскал с собой пластмассовую коробочку. Все свободное время он тратил только на пентамино. Фигуры превратились в личных друзей Дункана. Он называл их по буквам, которые те напоминали, хотя в ряде случае сходство было более чем отдаленным. Пять фигур — F, I, L, Р, N шли вразнобой, зато остальные семь повторяли последовательность латинского алфавита: Т, U, V, W, X, Y, Z.