Слишком многое на уроках геометрии посвящено доказательству очевидных вещей. Я хорошо помню занятия топологией на первом курсе колледжа. Профессор, весьма выдающийся почтенный ученый, потратил две недели на доказательство следующего факта: если вы проведете на плоскости замкнутую кривую без самопересечений, то, какой бы извилистой и причудливой она ни была, она разделит плоскость на две части: одна внутри, а вторая – снаружи кривой.
С одной стороны, как оказалось, весьма сложно написать формальное доказательство этого факта, известного как теорема Жордана о замкнутых кривых. С другой – эти две недели я провел в состоянии едва сдерживаемого раздражения. Неужели в этом и заключается математика? Делать очевидное трудоемким? Читатель, я просто отключался, так же как и мои однокурсники, среди которых были будущие математики и другие ученые. Парочка, сидевшая передо мной, – весьма серьезные студенты, которые впоследствии получат степени по математике в лучших университетах, – начинала энергично обниматься всякий раз, когда выдающийся почтенный ученый поворачивался к доске, чтобы записать очередной тонкий аргумент о небольшом видоизменении многоугольника. Я имею в виду, что они реально заводились, как будто их подростковая страсть друг к другу могла каким-то образом перенести их в другую часть континуума, где такого доказательства еще нет.
Столь высококвалифицированный математик, каким я стал сейчас, мог бы, слегка выпрямившись, сказать: «Ну, молодые люди, вы просто недостаточно искушены, чтобы понимать, какие утверждения действительно очевидны, а какие скрывают в себе тонкости». Возможно, я упомянул бы пугающую рогатую сферу Александера[53], которая показывает, что аналогичный вопрос в трехмерном пространстве вовсе не так прост, как можно подумать[54].
Однако с педагогической точки зрения такой ответ, на мой взгляд, довольно плох. Если в классе мы будем тратить время на доказательство вещей, которые кажутся очевидными, и настаивать на том, что они неочевидны, наши ученики будут кипеть от возмущения, как когда-то я, или найдут себе занятия поинтереснее, когда преподаватель отвернется.
Мне нравится, как мастер преподавания Бен Блюм-Смит описывает эту проблему: чтобы учащиеся действительно ощутили огонь математики, им надо испытать градиент уверенности[55], [56] – ощущение перехода от чего-то очевидного к чему-то неочевидному, подталкиваемое вверх двигателем формальной логики. В противном случае мы говорим: «Вот список аксиом, которые выглядят совершенно правильными; складывайте их, пока не получите другое утверждение, которое выглядит совершенно правильным». Это все равно что обучать кого-нибудь лего, показав, что из двух маленьких кирпичиков можно сделать один большой. Вы можете это сделать, а иногда вам действительно нужно это сделать, но суть лего, конечно, не в этом.
Вероятно, лучше самому почувствовать градиент уверенности, чем говорить о нем. Для этого подумайте на миг о прямоугольном треугольнике.
Начнем с интуитивного ощущения: если горизонтальная и вертикальная стороны определены, то известна и диагональ. Если вы пройдете 3 километра на юг, а потом 4 километра на восток, то однозначно удалитесь от исходной точки на какое-то конкретное расстояние.
Но на какое? Для этого нужна теорема Пифагора – первая реальная теорема геометрии. Она говорит, что если a и b – горизонтальная и вертикальная стороны прямоугольного треугольника, а c – диагональ (так называемая гипотенуза), то
a2 + b2 = c2.
Если a = 3, а b = 4, то c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25. Мы знаем, какое число при возведении в квадрат дает 25: это число 5. Оно и есть длина гипотенузы.
Почему эта формула верна? Вы можете начать подниматься по градиенту уверенности, нарисовав треугольник со сторонами 3 и 4 и измерив его гипотенузу, она будет близкой к 5. Затем нарисуйте треугольник со сторонами 1 и 3 и измерьте его гипотенузу; если вы обращались с линейкой достаточно внимательно, то получите что-то близкое к числу 3,16, которое при возведении в квадрат дает 1 + 9 = 10. Благодаря этим примерам уверенность увеличится, но это еще не доказательство. А вот это уже оно:
53
Рогатая сфера Александера делит трехмерное пространство на две части, как и обычная сфера, но другим способом: в то время как на плоскости по теореме Шенфлиса две получающиеся части топологически эквивалентны кругу и плоскости с круглой дыркой для любой кривой без самопересечений. См. Фукс Д. Б. Рогатая сфера Александера. Квант (1990) № 6.
54
В математике существует немало вещей, которые кажутся очевидными, но при этом неверны. Рассмотрим утверждение: сплошной шар радиусом 1 сантиметр нельзя разбить на конечное число частей и сложить из них сплошной шар радиусом 1 километр. Утверждение кажется очевидным, однако оно ложно: такое разбиение возможно (парадокс Банаха – Тарского). Аналогично интуиция отрицает существование непрерывной функции, у которой ни в одной точке нельзя провести касательную. Однако такие функции существуют. Поэтому, увы, даже вроде бы очевидные вещи в математике приходится доказывать.
55
Градиент – векторная величина, показывающая направление наибольшего возрастания числовой величины в разных точках какого-либо пространства. Здесь автор использует понятие в переносном смысле – как синоним подъема в гору.
56
Градиент уверенности: Ben Blum-Smith, “Uhm Sayin,” Research in Practice (blog), http://researchinpractice.wordpress.com/2015/08/01/uhm-sayin/.