Большой квадрат на обоих рисунках одинаков, но разбит на части двумя разными способами. На первом чертеже четыре копии нашего прямоугольного треугольника и квадрат со стороной c. На втором – тоже четыре копии, но иначе расположенные: остаток квадрата теперь занимают два меньших квадрата со сторонами a и b. Площадь, которая остается в большом квадрате после убирания четырех треугольников, должна быть одинаковой в обоих случаях, а значит, c2 (площадь, оставшаяся на первом чертеже) будет равна a2 + b2 (площадь, оставшаяся на втором чертеже).
При желании придраться можно пожаловаться на нестрогое доказательство того, что на первом рисунке квадрат (того, что длина сторон этой фигуры одинакова, недостаточно: сожмите пальцами противоположные углы квадрата – и получите фигуру под названием ромб: это явно не квадрат, но стороны по-прежнему равны). Но пусть так. До ознакомления с этой иллюстрацией у вас нет оснований считать, что теорема Пифагора верна, но, увидев ее, вы поймете, почему теорема верна. Подобные доказательства, когда геометрическая фигура разрезается на части, которые потом переставляются, называются доказательствами разрезания и ценятся за ясность и изобретательность. Математик и астроном XII века Бхаскара[57] показывает такую форму доказательства теоремы и находит изображение настолько убедительным, что для него не требуется словесное пояснение, просто подпись в виде одного слова «Смотри!»[58]. Любитель-математик Генри Перигал в 1830 году придумал собственное доказательство разрезанием, когда пытался, подобно Линкольну, квадрировать круг; он настолько высоко ценил свою схему[59], что спустя почти шестьдесят лет завещал вырезать ее на своем надгробии.
Нам нужно знать, как решать геометрические задачи чисто формальными выводами, однако геометрия – это не просто последовательность чисто формальных выводов. Если бы это было так, то это был бы не лучший способ научить искусству систематических рассуждений в сравнении с тысячей других вещей. Мы могли бы объяснять шахматные задачи или судоку. Или создать систему аксиом, вообще не имеющую никакого отношения к какой-либо области человеческой деятельности, и заставлять учащихся выводить из нее следствия. Но вместо всего этого мы преподаем геометрию, поскольку она – формальная система, которая не просто формальная система. Она встроена в наши представления о пространстве, положении и движении. Мы не можем не быть геометрическими. Иными словами, у нас есть интуиция.
В эссе 1905 года геометр Анри Пуанкаре определил интуицию и логику как два незаменимых столпа математического мышления. Каждый математик склонен к той или иной стороне, и, как отмечает Пуанкаре, нам свойственно именовать геометрами тех, кто сильнее предрасположен к интуитивному мышлению. Нам нужны оба столпа. Без логики мы не могли бы ничего сказать о 1000-угольнике – объекте, который нам не представить ни в каком разумном смысле. Но без интуиции предмет теряет всю свою привлекательность. Пуанкаре объясняет, что Евклид – это мертвая губка:
Вы, несомненно, видели[60] те тонкие структуры кремниевых игл, которые формируют скелет некоторых губок. Когда органическая материя исчезает, остается только хрупкое и изящное кружево. Правда, там нет ничего, кроме оксида кремния, но интересна именно та форма, которую он принял, и мы не могли бы ее понять, если бы не знали живой губки, которая и придала ему такую форму. Именно так и старые интуитивные представления наших отцов – даже тогда, когда мы отказались от них, – все еще придают форму логическим построениям, которые пришли им на смену.
Каким-то образом нам нужно научить людей делать выводы, не отрицая наличия интуитивных способностей – той самой живой ткани губки. И все же мы не хотим, чтобы нами управляла исключительно интуиция. Здесь поучительна история постулата о параллельных. Евклид включил его в список аксиом: «Если дана прямая L и точка P вне ее, то через точку P можно провести одну и только одну прямую, параллельную прямой L»[61].
Это сложно и громоздко по сравнению с другими аксиомами, которые выглядят изящнее, например: «Через любые две точки можно провести прямую». Математикам казалось, что было бы лучше, если бы получилось вывести пятую аксиому из четырех других, которые считались более базовыми.
57
В истории математики его часто называют Бхаскара II, чтобы отличать от более раннего математика с таким же именем.
58
Некоторые источники полагают, что доказательство Бхаскары было взято из более раннего китайского математического текста «Чжоу би суань цзин», однако по этому поводу ведутся споры; если на то пошло, то неясно, было ли у самих пифагорейцев то, что мы именуем сейчас доказательством.
59
Он настолько высоко ценил свою схему: Bill Casselman, “On the Dissecting Table,” Plus Magazine, Dec. 1, 2000; https://plus.maths.org/content/dissecting-table.
60
Вы, несомненно, видели: Henri Poincaré, The Value of Science, trans. G. B. Halsted (New York: The Science Press, 1907), 23.