Всегда скептично относитесь к любому, кто говорит, что он «просто логичен». Если вам рассказывают не о равенстве треугольников, а об экономической политике, или о каком-то недостойно себя ведущем культурном деятеле, или об уступке, которую от вас хотят, то тут нет ничего «просто логичного», поскольку все происходит в контексте, где логические выводы – если они вообще применимы – неотделимы от всего остального. От вас хотят, чтобы вы ошибочно приняли цепочку уверенно выраженных мнений за доказательство. Но как только вы ощутите резкий щелчок настоящего доказательства, вы уже никогда не угодите в эту ловушку. Предложите своему «логичному» оппоненту заняться квадратурой круга.
По словам Уитни, Линкольн выделялся вовсе не сверхмощным интеллектом. Многие общественные деятели очень умны, но среди них есть и хорошие, и плохие люди, с сожалением отмечает Уитни. Линкольна же отличало то, что для него «было морально невозможно[48] спорить нечестно; он не мог этого делать по определению, как не мог красть; по сути, для него было одно и то же – лишить человека собственности путем кражи или путем нелогичных или отвратительных рассуждений». То, что Линкольн позаимствовал у Евклида (или то, что уже имелось у Линкольна и гармонировало с тем, что он нашел у Евклида), – это целостность: принцип, что нельзя говорить какие-то вещи, пока ты честно не обосновал свое право их обсуждать. Геометрия – это форма честности. Линкольна можно назвать Геометрическим Эйбом[49].
Единственное, в чем я расхожусь с Линкольном, – что он стыдит автора за заблуждения. Труднее всего быть честным с самим собой, и требуется гораздо больше времени и усилий на разоблачение собственных ошибок. Нужно всегда относиться к своим убеждениям, как к расшатанному зубу, то есть к зубу, в крепости которого вы не совсем уверены. И если что-то вызывает сомнения, не стоит стыдиться; просто спокойно отступите на твердую почву и заново переосмыслите проблемное понятие.
Именно этому в идеале должна научить нас геометрия. Однако «застывшая формалистика», на которую жаловался Сильвестр, от этого ой как далека. На практике урок геометрии, который мы преподаем детям, по словам художника, педагога и популяризатора математики Бена Орлина, обычно таков:
Доказательство – это непонятная демонстрация уже известного вам факта[50].
Орлин приводит пример такого доказательства для теоремы о равенстве прямых углов, то есть утверждения, что любые два прямых угла равны. Что можно спросить у девятиклассника, столкнувшегося с этим утверждением? Типичный формат[51] – доказательство в два столбца, главная опора геометрического образования в течение более чем ста лет. В нашем случае оно выглядело бы примерно так:
«Транзитивность равенства» – одно из общих понятий Евклида, это арифметический принцип, который он излагает в начале своего труда наряду с геометрическими аксиомами. Принцип таков: две вещи, равные третьей, равны между собой[52].
Не стану отрицать, что есть определенное удовлетворение в сведении всего к таким крошечным, точным шагам. Они так убедительно складываются вместе, словно детальки лего! И подобное ощущение учителю действительно хочется передать.
Но все же… разве не очевидно, что два прямых угла – это одна и та же вещь, просто расположенная на странице в разных местах с разной ориентацией? На самом деле Евклид считал равенство прямых углов четвертой из аксиом – основных правил игры, которые принимаются как истинные без доказательства и из которых вытекает все остальное. Так почему современная школа требует от учеников предъявлять доказательство этого факта, если даже Евклид сказал: «Да ладно, это очевидно»? Потому что существует много разных наборов аксиом, из которых можно вывести геометрию на плоскости, и поступать в точности так, как Евклид, больше не считается самым строгим или педагогически выигрышным приемом. В 1899 году Давид Гильберт переписал всю аксиоматику с нуля, а аксиомы современной американской школы обычно следуют системе Джорджа Биркгофа 1932 года.
Аксиома это или нет, но тот факт, что два прямых угла равны, ученик просто знает. Вы не можете винить школьников в том, что они разочаруются, когда вы им скажете: «Вы думали, что знаете это, но на самом деле не знали, пока не выполнили все шаги в доказательстве в два столбца». Даже несколько обидно!
51
Типичный формат: материал о Комитете десяти и истории доказательства в два столбца взят из работы P. G. Herbst, “Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column Proof in the Early Twentieth Century,” Educational Studies in Mathematics 49, no. 3 (2002): 283–312.