Итак, классическая механика — два направления поиска: движение тел при наличии так называемых неголономных связей и движение твердого тела вокруг неподвижной точки.
Неголономные связи — важный раздел механики, изучающий движение тела в определенных ограничениях, налагаемых не только на положение тела, но и на его скорость. Такие связи нельзя свести к геометрическим условиям и проинтегрировать их уравнения. Приведем пример: шар катится без скольжения по шероховатой жесткой поверхности. Для шара это неголономная связь, так как в точке его соприкосновения с поверхностью скорость равна нулю и уравнение связи не интегрируется. Подобных примеров движения много: скажем, велосипед, направляющие ролики счетных приборов, планиметров, интеграторов...
Для математика тут огромное поле деятельности. Ведь исследовать подобное движение крайне трудно — к нему неприменимы дифференциальные уравнения Лагранжа в обычном виде. А вот финский математик Линделеф не учел это обстоятельство и незаконно применил в задаче о катании тела по плоскости общее уравнение Лагранжа. Чаплыгин обратил внимание на ошибку и выполнил свое исследование.
Впервые он вывел общие уравнения движения неголономных систем, опередив иностранных ученых, позднее выполнивших то же самое. Уравнения Чаплыгина представляют собой обобщенные уравнения Лагранжа, но с добавочными членами.
Эта и другие работы Сергея Алексеевича в той же области неопровержимо подтвердили: в России появился новый выдающийся математик.
Классические исследования Чаплыгина по теории движения тела в жидкости и по движению тела с неинтегрируемыми связями коллеги очень скоро оценили по достоинству. Они были по инициативе Н. Е. Жуковского представлены в Академию наук на соискание премии графа Д. А. Толстого и удостоены Большой почетной золотой медали.
Второе направление поиска, как уже говорилось, вытекало из выдающихся работ Софьи Ковалевской. Надо отметить, что изучение движения твердого тела вокруг неподвижной точки имело (и имеет) большое практическое значение. Оно составляет основу теории сферического маятника и гироскопических явлений, динамики корабля, самолета, ракеты. Применение нашли, например, маятниковые часы, баллистические, гравитационные маятники. Гироскопические приборы, в свою очередь, широко используются на судах, в танках, самолетах, в том числе для автоматического управления движением морских и воздушных кораблей, реактивных снарядов, ракет. Без таких приборов трудно обойтись в астрономии, буровом деле.
Интерес к движению тела вокруг неподвижной точки у классической механики давний. Ему, в частности, отдал дань петербургский академик, швейцарец по происхождению, Леонард Эйлер (1707—1783). Он впервые решил задачу для случая, когда неподвижная точка является центром тяжести. Затем француз Жозеф Луи Лагранж (1736—1813) рассмотрел случай, когда центр тяжести не находится в неподвижной точке, но лежит на оси симметрии тела.
В 1888 году Парижская академия наук присудила премию математической работе, представленной на конкурс под девизом: «Говори, что знаешь; делай, что обязан; будь, чему быть». В течение предыдущих пятидесяти лет подобная премия полностью (три тысячи франков) присуждалась только трижды. На этот раз академическая комиссия, признавшая конкурсную работу «замечательным трудом, который содержит открытие нового случая», решила наградить автора не просто полной, но даже увеличенной премией — пять тысяч франков.
Автором была Софья Васильевна Ковалевская, выполнившая, как уже было отмечено выше, исследование по движению твердого тела вокруг неподвижной точки. Труд этот стал классическим. После Эйлера и Лагранжа Ковалевская сумела сделать огромный шаг вперед, найдя новый случай движения не вполне симметричного гироскопа. (Скажем к месту, что наша Академия наук пятидесятилетие этого выдающегося открытия ознаменовала выпуском сборника, посвященного памяти Софьи Васильевны. Одним из двух ответственных редакторов его был Сергей Алексеевич Чаплыгин.)
Однако — вспомним слова Келдыша! — далеко не сразу теоретические работы математиков и механиков находили практическое приложение. Историки науки указывают, что определенный поворот здесь наметился в основном в конце прошлого века. Взять, к примеру, тот же гироскоп. Не так еще давно он был объектом сугубо академического интереса, но уже в восьмидесятых годах гироскопический принцип был использован в устройствах, делающих устойчивым полет мин.