Клеточные автоматы и фракталы
Для того чтобы показать, что глобальный порядок может быть порожден силами, действующими исключительно между соседними элементами, я придумал пример, описанный на с. 452. Вскоре мне указали на то, что в моем примере действует так называемый «клеточный автомат» в том виде, в каком этот термин определен Джоном фон Нейманом (см. [621]). Улам показал (снова см. [621]), что выход такого автомата может быть очень сложным и выглядеть случайным. В других работах [669, 670, 667] показано, что этот выход может быть и фрактальным.
Итерации отображения z→z2−μ в комплексных числах: новые результаты и доказательства
В [650] включено много иллюстраций, для которых не хватило места в главе 19, и дополнительных наблюдений. Выход статьи [401] несколько задержался и ожидается в 1983 г.
Два важных наблюдения из главы 19 нашли теперь математическое подтверждение.
В работах [628, 627] путем отображения множества внешних точек M на множество внешних точек круга доказано, что замкнутое множество M и в самом деле связно.
В [659] доказано, что хаусдорфова мера дракона Жюлиа является аналитической функцией от параметра μ.
Квадрирующие отображения в кватернионах
В главе 19 установлено, что свойства отображения z→z2−μ при вещественных значениях z удобнее всего рассматривать как особые случаи этого же отображения при комплексных z и μ, и что итерации при комплексных z порождают неожиданные и весьма интересные картины. Таким образом, представляется естественным воспользоваться для углубления понимания и получения еще более красивых образов дальнейшим обобщением величины z. А Нортон предположил, что следующим наиболее естественным окружением могли бы стать гамильтоновы кватернионы. Введенные в 1847 г., кватернионы хорошо знакомы как математикам, так и физикам, однако до сей поры им доставались лишь второстепенные роли. В контексте же итераций концепция кватернионов оказалась необычайно плодотворной как с математической, так и с эстетической точки зрения – подробный отчет читатель найдет в выходящих вскоре работах, моих и Нортона.
Против кватернионов имеются и возражения. Одно из них, например, заключается в следующем: комплексные числа вводят пространство E=1 в пространство E=2, которое можно представить визуально, в то время как кватернионы связаны с переходом к пространству с E=4, которое визуально представить невозможно. Еще одно возражение: умножение кватернионов не коммутативно, т.е. если z является кватернионом, то отображения z→λz(1−z), z→z2−μ, z→μz2−1 и z→μαz2μ1−α различны.
Для иллюстрации топологических взаимосвязей фрактальных репеллеров квадратичного отображения в кватернионах в работе [655] разработаны новые компьютерно – графические методы. Множества всех кватернионов, не уходящих при итерациях в бесконечность, рассматриваются в трехмерных сечениях. Сечения таких множеств комплексной плоскостью являются фрактальными драконами, описанными в главе 19.
Некоммутативность же умножения кватернионов совершенно неожиданно превратилась в большое преимущество. Для объяснения смысла этого преимущества рассмотрим рис. С5. Вопрос: соединяются ли друг с другом в пространстве кватернионов все или хотя бы некоторые темно-желтые области дракона? Ответ: в общем случае, каждый из вариантов записи, z→z2−μ или z→λz(1−z) (до перехода к кватернионам), вызывает появление совершенно различных связей между темно-желтыми областями. Следовательно, для более конкретного описания топологических взаимосвязей необходимы дополнительные данные.