Тем не менее, обратите внимание, что для вычисления LCS строк Х(_n-1_) и Y(_m_) может потребоваться вычислить LCS строк Х(_n-2_) и Y(_m-1_), LCS строк Х(_n-1_) и Y(_m-1_) и LCS строк Х(_n-2_) и Y(_m_). Вторую из этих подпоследовательностей можно уже вычислить. При недостаточной внимательности можно было бы вычислять одни и те же LCS снова и снова. В идеале во избежание этих повторных вычислений нужно было бы кешировать ранее вычисленные результаты. Поскольку мы располагаем двумя индексами для строк X и Y, имеет смысл воспользоваться матрицей.
Что необходимо хранить в каждом из элементов этого матричного кеша? Очевидный ответ - саму строку LCS. Однако, это не слишком целесообразно - да, это упростит вычисление LCS, но не поможет определить, какие символы нужно удалить из строки X, а какие новые символы вставить с целью получения строки Y. Лучше в каждом элементе хранить достаточный объем информации, чтобы можно было генерировать LCS за счет применения алгоритма типа O(1), а также достаточный объем информации для определения команд редактирования, обеспечивающих переход от строки X к строке Y.
Один из информационных элементов, в котором мы действительно нуждаемся, -это длина LCS на каждом этапе. Используя упомянутое значение, с помощью рекурсивного алгоритма можно легко выяснить длину LCS для двух полных строк. Чтобы можно было сгенерировать саму строку LCS, необходимо знать путь, пройденный по матричному кешу. Для этого в каждом элементе потребуется сохранять указатель на предыдущий элемент, который был использован для построения LCS для данного элемента.
Однако прежде чем приступить к рассмотрению просмотра матрицы LCS, необходимо ее построить. Пока же будем считать, что в каждом элементе матрицы будут храниться два информационных фрагмента: длина LCS на данном этапе и позиция предыдущего элемента матрицы, образующего предшественницу этой LCS. Для последнего значения существует только три возможных ячейки: непосредственно над ним (к северу), слева (к западу) и выше и левее (к северо-западу). Поэтому для их обозначения вполне можно было бы использовать перечислимый тип.
Давайте вручную вычислим LCS для случая строк BEGIN/FINISH. Мы получим матрицу 6x7 (мы будем учитывать пустые подстроки, поэтому индексация должна начинаться с 0). Вместо того, чтобы рекурсивно заполнять матрицу (все эти рекурсивные вызовы трудно поддерживать в упорядоченном виде), итеративно вычислим все ячейки слева направо и сверху вниз. Вычисление ячеек первой строки и первого столбца не представляет сложности: они все являются нулями. Почему? Да потому, что наиболее длинная общая последовательность пустой и любой другой строки равна нулевой строке. С этого момента можно начать определение LCS для ячейки (1,1) или двух строк B и F. Два последних символа этих односимвольных строк не совпадают. Следовательно, длина LCS равна максимальной из предшествующих ячеек, расположенных к северу и к западу от данной. Обе эти ячейки нулевые, поэтому их максимальное значение и, следовательно, значение этой ячейки равно нулю. Ячейка (1,2) соответствует строкам B и F1. Ее значение также рано нулю. Ячейка (2,1) соответствует строкам BE и F: длина LCS снова равна 0. Продолжая подобные вычисления, можно заполнить все 42 ячейки матрицы. Обратите внимание на ячейки, соответствующие совпадающим символам: именно в них длина LCS возрастает. Конечный результат показан в таблице 12.1.
Таблица 12.1. Матрица LCS для строк BEGIN и FINISH
_ _ F I N I S H
_ 0 0 0 0 0 0 0
B 0 0 0 0 0 0 0
E 0 0 0 0 0 0 0
G 0 0 0 0 0 0 0
I 0 0 1 1 1 1 1
N 0 0 1 2 2 2 2
Записать этот процесс выполнения действий вручную в виде кода не особенно трудно. Чтобы облегчить задачу начинающим программистам, я решил вначале создать класс матричного кеша. Внутри этого класса матрица хранится в объекте TList из TLists, причем ведущий объект TList представляет строки в матрице, а ведомый TLists - ячейки в столбцах отдельной строки. Кроме того, класс матрицы специфичен для решаемой задачи. Было бы излишним разрабатывать, кодировать и использовать общий класс матрицы. Код реализации класса матрицы показан в листинге 12.22.
Листинг 12.22. Класс матрицы для реализации алгоритма определения LCS
type
TtdLCSDir = (ldNorth, ldNorthWest, ldWest);
PtdLCSData = ^TtdLCSData;
TtdLCSData = packed record
ldLen : integer;
ldPrev : TtdLCSDir;
end;
type
TtdLCSMatrix = class private
FCols : integer;
FMatrix : TList;
FRows : integer;
protected
function mxGetItem(aRow, aCol : integer): PtdLCSData;
procedure mxSetItem(aRow, aCol : integer;
aValue : PtdLCSData);
public
constructor Create(aRowCount, aColCount : integer);