Название докторской диссертации Гаусса звучит так: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse («Новое доказательство теоремы, в которой говорится, что любая алгебраическая рациональная функция может быть разложена на множители первой или второй степени с действительными коэффициентами»). В этом заголовке содержится небольшая ошибка, которая принесла молодому Гауссу еще больше величия: это доказательство было не «новым», а первым в истории полным доказательством основной теоремы алгебры.
Математика — царица наук, а арифметика — царица математики.
Карл Фридрих Гаусс
В этой теореме, в том виде, в каком ее формулировал Гаусс (затем она была обобщена), утверждается, что любой многочлен от одной переменной имеет столько корней, сколько показывает его степень, допуская, что эти корни могут быть множественными. Многочлен Р — это выражение вида Р(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + а1х + a0, где коэффициенты аn, аn-1, ... , a1, a0 — действительные числа. Степень Р — это наибольший показатель степени, в которую нужно возвести переменную х, то есть n. Корни многочлена — это точки, в которых он равен нулю, то есть такие точки х, в которых Р(х) = 0. В качестве естественного следствия из теоремы можно сделать вывод, что любой многочлен степени n с n корнями, необязательно разными, которые мы обозначим r1, r2,..., rn, можно разложить как произведение одночленов вида:
Р(х) = (x-r1) · (x - r2) · ... · (x - rn).
Задачи такого типа часто встречаются в повседневной жизни, и их решение заботило математиков с самого начала развития этой науки. Очевидно, что задачи типа x - 3 = 0 имеют единственный корень, то есть 3. Если мы возьмем многочлен x + 3 = 0, то для его решения нам придется учитывать отрицательные числа, поскольку решение — это -3. Именно по этой причине потребовалось расширить множество натуральных чисел до множества целых чисел, которое включает в себя и отрицательные числа. Вавилоняне и египтяне осознали, что для решения простых уравнений первой степени нужно новое расширение, в данном случае это дроби, поскольку решением уравнения 3x — 2 = 0 является величина 2/3. Множество, которое включало в себя дроби, назвали множеством рациональных чисел.
С увеличением показателя степени многочлена все усложняется, и такое простое уравнение, как х²-2 = 0, привело греков к великому открытию, поскольку решение нельзя было выразить в виде дроби. Действительно, методом от противного было найдено аналитическое доказательство того, что sqrt(2) не является рациональным числом.
Находчивые древнегреческие математики предложили доказательство нерациональности sqrt(2), пользуясь методом от противного, который состоит в том, чтобы предположить противоположное тому, что мы хотим доказать, и прийти к логическому противоречию. Предположим, что sqrt(2) рационально, то есть его можно выразить с помощью некоторой дроби p/q. Теперь предположим, что дробь невозможно сократить, то есть что р и q — взаимно простые. Иначе было бы достаточноразделить оба элемента дроби на наибольший общий делитель. Так как sqrt(2) = p/q, получается, что, если возвести в квадрат оба члена, то 2 = p²/q², значит, 2q² = p², то есть р² — это четное число, и, следовательно, таким же является р. Так как р — четное число, то существует натуральное число k, такое, что р = 2k. Если подставить новое значение р в наше уравнение, получится, что 2q² = 4k². Это предполагает, что q² = 2k², то есть q -— также четное. Но это означает, что нашу исходную дробь можно сократить, а это противоречит условиям, следовательно, предположение, что sqrt(2) — рациональное число, ложно.