Так, мнимое число z имело бы вид а + bi, как точка с координатами (a, b) на плоскости, что показано на рисунке. Ось R используется для действительной части, а ось I — для мнимой. Кроме того, Гаусс снабдил комплексные числа арифметикой, которая позволила бы проводить с ними все виды операций.
Несмотря на то что речь шла об очень эффективном представлении, Гаусс держал в секрете эту карту мира мнимых чисел. Как только доказательство было обнаружено, ученый убрал графические «леса», так что от них не осталось и следа. При этом он осознавал, что математики часто смотрят на графики с некоторым подозрением, отдавая предпочтение языку формул и уравнений, поскольку в то время существовало мнение, что графики могут быть ошибочными. Гаусс знал, что графическое представление мнимых чисел вызовет недоверие, поэтому исключил его из доказательства, которое сразу же стало довольно непонятным для современников. Непонятным настолько, что в некоторых книгах по истории науки говорится, что первое доказательство теоремы, предложенное математиком, было ошибочным, хотя вернее было бы сказать — неполным. И пробел находится в том варианте доказательства, которое было опубликовано, а не в том, которое Гаусс вывел для себя.
Комплексные числа имеют алгебраическую структуру поля с операциями суммы и произведения. Сначала дадим им определения и покажем, что это внутренние операции, то есть что мы получаем комплексные числа, когда оперируем ими.
— Сумма:
(a + bi) + {c + di) = a + c + (b + d) i.
— Произведение:
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi² = ac-bd + (be + + ad) i.
При таком определении операций у чисел есть необходимые свойства для того, чтобы иметь алгебраическую структуру поля:
— ассоциативность обеих операций;
— коммутативность обеих операций;
— существование нейтрального элемента (0 для суммы и 1 для произведения);
— существование результата, противоположного сумме, и результата, обратного произведению;
— дистрибутивность.
Доказательство этих свойств следует непосредственно из определений. Наличие структуры поля позволяет работать с комплексными числами, используя все возможности, которые предоставляет алгебра.
Эйлер (1707-1783) — швейцарский математик и физик. Речь идет о главном математике XVIII века и одном из самых великих математиков всех времен. Эйлер долгие годы жил в России, где был почетным гостем Екатерины I и ее придворных (в то время в России существовала традиция приглашать наиболее крупных ученых в Академию наук). Эйлер осуществил важные открытия в таких областях, как вычисления, или теория графов (графы — это математическая модель множества узлов и их соединений с помощью ребер, ориентированных либо нет; они имеют широкое применение для представления сети дорог или планов городов). Эйлер также ввел значительную часть современной терминологии и математических обозначений, например понятие математической функции. Он определил число е, одну из самых используемых констант, породившую натуральные логарифмы. Также Эйлер известен своими работами в области механики, оптики и астрономии. Он входит в число наиболее плодовитых ученых: полное собрание его сочинений могло бы занять от 60 до 80 томов. И действительно, даже через 50 лет после смерти математика Петербургская академия наук все еще публиковала статьи Эйлера, хранящиеся в ее архивах. Лаплас, говоря о влиянии ученого на последующих математиков, заметил: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он учитель всех нас».
В ту эпоху превалировала мысль о том, что числа -- это объекты, которые можно складывать и умножать, но не изображать. И потребовалось 50 лет для того, чтобы Гаусс решился открыть коллегам графические леса, которыми он воспользовался в диссертации. Эта теорема так захватила Гаусса, что он нашел еще три ее доказательства. Второе возникло через год после защиты, и оно дополняло некоторые пропуски первоначального варианта. Третье доказательство, выдвинутое в 1815 году, было основано на идеях Эйлера, в нем не применяются геометрические положения, и это первая серьезная попытка чисто алгебраического доказательства с открытым использованием комплексных чисел. Тут же Гаусс критикует попытки других математиков, основанные на аналитических методах. Последнее доказательство было получено в 1849 году, в связи с 50-летием докторской диссертации. Оно очень похоже на первое, но в этот раз Гаусс приводит все геометрические рассуждения. Чтобы понять важность диссертации Гаусса, достаточно отметить, что доказательство теоремы повергло в прах Эйлера, Лагранжа и Лапласа — трех величайших математиков в истории.