В разделе I, состоящем всего из пяти страниц, вводятся элементарные понятия, такие как признаки делимости на 3, 9 и 11. Кроме того, Гаусс дает определение сравнения по модулю; это понятие будет раскрыто в разделе II: если заданы целые числа а и b и их разница (а - b или b - а) делится без остатка на число m, мы говорим, что a, b сравнимы по модулю m, и это записывается следующим образом: a = b (mod m). Так, 56 = 6 (mod 5) или 47 = 14 (mod 11).
Сравнения по модулю — очень важное открытие в математике, они помогают выполнять вычисления любого типа. Их идея близка к тому, как работают с обычным циферблатом часов, поэтому сравнения также называют вычислителями часов. Если обычные часы со стрелками показывают 9, и проходит 4 часа, стрелки будут показывать 1. То есть 13=1 (mod 12). Такое вычисление, как 7² = 7 · 7, в итоге дает 1 по модулю 12, поскольку 49, разделенное на 12, в остатке дает 1. Результат сравнения по модулю — это всегда остаток от деления числа на определенный модуль.
Значимость этой системы проявляется, когда речь идет о более сложных вычислениях. Если нужно вычислить 7³ = 7 · 7 · 7, вместо того, чтобы умножать 49 на 7, Гаусс мог ограничиться тем, чтобы умножить 7 на результат последнего сравнения по модулю, то есть 1, произведение будет равно, без сомнения, 7. Так, Гаусс знал, что произведение — это число, которое при делении на 12 в остатке дает 7. Этот метод может быть применен на больших числах, которые превышают возможность вычисления. Не имея ни малейшего понятия о значении 799, с помощью сравнений по модулю ученый знал, что если разделить это число на 12, в остатке получится 7. Исследования Гаусса в этой области арифметики были революционными для математики начала XIX века и позволили ученым обнаруживать структуры, до этого скрытые. Сегодня арифметика сравнений по модулю, также называемая модульной арифметикой, является фундаментальной для безопасности в интернете, где сравнения используются для величин, превышающих количество атомов во Вселенной.
Также преимущество этой записи состоит в том, что она напоминает форму, в которой мы записываем алгебраические выражения. Вместо арифметической делимости, описание которой может быть громоздким, она дает краткую запись, благодаря которой можно складывать, вычитать и умножать сравнения, если их модуль одинаков, а также решать уравнения вида: ах + b == c (mod m).
В заключении к двум первым разделам Гаусс применил эти методы к историческим проблемам, таким как вычисление знаменитой функции φ Эйлера. Функция φ(N) определяется как количество целых положительных чисел, меньших или равных N и взаимно простых с Ν. В математике два числа называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, то есть их наибольший общий делитель — 1. Например, 9 = З² является взаимно простым с 10 = 5 · 2, и его нужно было бы найти при вычислении φ( 10). Множество φ( 10) состоит, следовательно, из четырех элементов (1, 3, 7 и 9), и значит, φ( 10) = 4.
Гаусс вывел общую формулу для вычисления φ(Ν). Если мы разложим N на простые множители ρ1,ρ2, ...,рn, то получим N = р1m1, p2m2 · ... · pnmn, где pi простые числа, a mi — кратность их повторения. Формула имеет вид:
Если применить формулу к N= 10, то
чего и следовало ожидать.
Формула зависит от простых чисел, на которые раскладывается N, а не от кратности их повторения. В случае с N = 180 получается, что 180 = 2² · З² · 5, следовательно,
Раздел заканчивается доказательством основной теоремы о многочленных сравнениях. Так, сравнение степени m,
amxm + am-1xm-1 + ··· +а1x + b == 0 (mod р),
модуль которой р — простое число, не являющееся делителем аm, может быть решена не более чем m различными способами или не может иметь больше m корней, не сравнимых по модулю р.
В разделе III, озаглавленном De residuis Potestatum («О степенных вычетах»), говорится о квадратичных вычетах и вычетах большей степени. Если заданы целые числа тип, где m не является делителем n, и если существует такое число x, что х² = m (mod n), говорят, что m — квадратичный вычет по модулю n; в противном случае говорят, что m — квадратичный невычет по модулю n. Например: 13 — квадратичный вычет по модулю 17, поскольку уравнение х² == 13 (mod 17) имеет в качестве решений х = 8, 25, 42, поскольку 8² = 64, что при делении на 17 дает 13 в остатке, 25² = 625, что при делении на 17 вновь дает 13 в остатке, и то же самое происходит с 42² = 1764.
В разделе доказывается малая теорема Ферма: np-1 == 1 (mod p), где р — простое число, не являющееся делителем n. То есть если р — простое число, которое не является делителем n, то np-1 всегда делится на р. Для случая n = 8 np = 5 получается, что 84-1 = 4095, а это делится на 5. Для получения этого результата Гаусс воспользовался формулой бинома Ньютона, сформулированной для сравнений. Следствием является теорема Вильсона, в которой говорится, что если задано простое число р, то