то есть достаточно, чтобы дискриминант в том виде, в каком мы его определили, был равен нулю, чтобы получить единое двойное решение. В случае с многочленом х²-4х + 4, поскольку у него нулевой дискриминант, мы получаем один двойной корень (2), так что, применив основную теорему алгебры, получаем х²-4х + 4 = (х - 2)².
Раздел VII — самая известная часть «Исследований», оказавшая огромное влияние на развитие науки. В этом разделе шла речь о делении круга с помощью линейки и циркуля — классической теме математики. Очевидно, что эта задача связана с построением правильных многоугольников, так что Гаусс включил сюда свое знаменитое построение многоугольника с 17 сторонами, найдя достаточное условие для построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля.
В мире математики все признают, что «Арифметические исследования» — это не просто сборник замечаний о числах. Работа знаменует собой рождение теории чисел как независимой дисциплины. Ее публикация сделала теорию чисел царицей математики — это определение очень нравилось Гауссу. И все же, несмотря на это, труд был не слишком тепло принят Парижской академией наук, которая сочла его темным и неясным. Одна из причин такого впечатления состоит в том, что Гаусс старался сохранять тайну, исключая или скрывая пути, которые привели его к открытиям. Как и следовало ожидать, математики не до конца поняли новую работу и назвали труд «книгой за семью печатями». Ее сложно читать даже специалистам, но содержащиеся в ней сокровища, включая скрытые в лаконичных синтетических доказательствах, сегодня доступны каждому, кто захочет восхититься ими, в основном благодаря работам Дирихле, который первым разбил эти семь печатей.
Рассказывают, что Дирихле использовал книгу Гаусса как подушку, чтобы ночью некоторые знания перетекли в его голову.
Лагранж также безоговорочно хвалил книгу. В своем письме Гауссу от 31 мая 1804 года он признается:
«Ваши «Исследования» быстро возвели Вас до уровня первых математиков, и я считаю, что последний раздел содержит самое красивое аналитическое открытие, которое только было сделано за последнее время [...]. Я думаю, что никто более искренне не аплодирует Вашим достижениям, чем я».
Если вспомнить, что все изложенные в книге результаты были получены Гауссом в возрасте до 30 лет, остается только удивляться его таланту. Очень вероятно, что именно в память о Гауссе Филдсовская премия — важнейшая награда, которую может получить математик, — вручается только ученым до 40 лет. В отличие от Нобелевской премии, которая обычно вручается ученым, приближающимся к концу карьеры, медали Филдса оставлены для молодых.
В конце 1798 года ученый вернулся в Брауншвейг, где жил до 1807 года. Очевидно, что этот период был критическим для его карьеры. Сначала Гаусс, закончив обучение в Гёттингенском университете, боялся потерять расположение герцога, но в январе 1799 года математик рассказывал Вольфгангу Бойяи, что герцог продолжает выплачивать стипендию, и это позволяет ему жить, посвящая себя исследованиям. Очевидно, что в это время Гаусс был вполне удовлетворен своим математическим прогрессом и с избытком оправдывал ожидания, возложенные на него: он не только блестяще завершил обучение в Гёттингенском университете, но и решил проблему построения правильного многоугольника с 17 сторонами. Во время этого второго периода в Брауншвейге можно заметить расширение научных интересов Гаусса; он впервые посвятил себя вопросам математики, специфически применимым к теоретической и практической астрономии.
Дирихле (1805-1859) — немецкий математик XIX века. Он получил образование в Германии, а затем во Франции, где учился у многих самых известных математиков своего времени, таких как Фурье. После выпуска работал преподавателем в университетах Бреслау (1826-1828),
Берлина (1828-1855) и Гёттингена, где получил кафедру, оставленную Гауссом после его смерти. Многие свои работы Дирихле посвятил тому, чтобы дополнить труд Гаусса, приводя полные доказательства его результатов, чтобы они стали более доступными будущим поколениям математиков. Его самый значительный вклад сделан в теорию чисел, где он уделил особое внимание изучению рядов и развил теорию рядов Фурье. Первая публикация ученого включала в себя частичное доказательство теоремы Ферма для случая n = 5, которое также нашел Адриен Мари Лежандр, один из рецензентов. Дирихле нашел свое доказательство почти одновременно с Лежандром, а потом успешно продолжил его для п = 14. Математик применил аналитические функции к вычислению арифметических задач и установил критерии сходимости рядов. В области математического анализа он усовершенствовал определение и понятие функции. Дирихле приписывают современное понимание функции в математике.