Это дало Гауссу основание сформулировать следующую гипотезу: для чисел в промежутке от 1 до N средняя удаленность между простыми числами равна ln(N). Следовательно, мы можем определить значение функции π как:
π(Ν) = Ν/ln(N)
Гаусс никогда не думал, что это точная формула. Он считал, что она может использоваться для оценки, для установления какого-то порядка в распределении простых чисел. Гаусс записал это приближение в книге логарифмов, но никому не объяснил своей идеи, поскольку у него не было доказательств правильности этого наблюдения и он не знал, сохранится ли модель по мере увеличения Ν. Такое поведение вполне соответствовало представлениям Гаусса о том, как нужно вести научные исследования. Без доказательства связь между простыми числами и логарифмами для ученого не имела ценности. Однако его идея стала зачатком нового способа решения проблемы и дала в будущем чудесные результаты.
С Гауссом в исследованиях вновь пересекся Лежандр. Французского математика также интересовала теория чисел, и в 1798 году, на шесть лет позже, чем Гаусс, он объявил об обнаружении экспериментальной связи между простыми числами и логарифмами. Результат, который предложил Лежандр, был лучше, поскольку выяснилось, что результат Гаусса удаляется от реальных значений по мере роста N.
На рисунке показано, что хотя Гаусс, безусловно, открыл нечто интересное, открытие можно было улучшить. Лежандр получил результат, определяемый формулой
π(Ν) = N/(ln(N)-1,08366)
сделав небольшое исправление, которое приближало формулу к реальному графику распределения простых чисел. На самом деле при существующих на то время таблицах простых чисел было почти невозможно различить графики π(Ν) и результат Лежандра. Он приспособил функцию к графику, что было относительно простой задачей при использовании метода наименьших квадратов, и поэтому в формуле появился такой член, как 1,08366, не имеющий в математике самостоятельного значения. Лежандр в своих изысканиях больше заботился о том, чтобы находить практические объяснения, а не искать доказательства. Так, в 1808 году он опубликовал свою гипотезу о простых числах в книге, озаглавленной Theorie des nombres («Теория чисел»), не раскрывая метода, который привел его к этому заключению. Спор о том, кто первым открыл связь между логарифмами и простыми числами, вызвал новую полемику между Гауссом и Лежандром. Свое разрешение она нашла только после смерти Гаусса, когда были изучены его заметки и переписка и было установлено, что он вновь обошел Лежандра. В любом случае уравнение Лежандра с добавленным членом имело довольно неестественный вид, кроме того, не было уверенности, что результат будет хорошим после расширения таблиц простых чисел.
Неудивительно, что Гаусс посвятил свои последние годы улучшению этого результата в поисках более точной и лучше обоснованной с точки зрения математики формулы. Так возникла проблема вычисления вероятностей. Было очевидно, что по мере увеличения N вероятность найти простое число уменьшается. Идея состояла в том, чтобы воспользоваться вероятностями, основанными на выражении
1/ln(N)
Результат Гаусса получил новое выражение:
На самом деле эта формула была небольшой модификацией предыдущей; ученый обозначил ее Li(N) и назвал интегральным логарифмом N; выражение было более точным, поскольку в нем ряд сумм заменялся интегралом, то есть бесконечной суммой. Итак, выражение, заданное Гауссом, имело вид:
Гаусс предположил: π(Ν) = Li(N), что известно как гипотеза Гаусса о простых числах, которая, как мы увидим, превратилась в теорему Гаусса о простых числах. Так немецкий математик снова превзошел Лежандра, хотя для того чтобы доказать его открытие, потребовался огромный технический прогресс в вычислении простых чисел. Чтобы проверить свою гипотезу, Гаусс много времени посвятил построению таблиц простых чисел. В возрасте более 70 лет он написал астроному Иоганну Энке (1791-1865): «Очень часто я пользовался четвертью часа отсутствия дел, чтобы находить простые числа с промежутками размером в тысячу». Что и говорить, весьма оригинальный способ отдыхать! Но благодаря ему Гауссу удалось определить количество простых чисел, меньших 3000000, и он выяснил, что разница по сравнению с результатом его интегральной функции едва равна 0,0007 %. Когда появились более обширные таблицы простых чисел, обнаружилось, что формула Лежандра была гораздо менее точной и давала заметную погрешность для чисел больше 10000000.