В истории математики не всегда было ясно, будет ли сумма бесконечного числа положительных членов обязательно равна бесконечности, и даже появились философские теории, посвященные этому.
Первый большой результат, связывающий дзета-функцию с простыми числами, был получен Эйлером в 1737 году. Он утверждает, что
где х — действительное число, а Р — множество простых чисел. В формуле сумма заменяется произведением дробей, образованных простыми числами. Чтобы дойти до этого результата,
Эйлер разложил каждый член ряда на произведение простых чисел. Например,
1/90 = 1/2 1/З² 1/5
Риман глубоко изучил функцию, введенную Эйлером, а также расширил сферу применения функции от действительных к комплексным числам.
Когда область определения расширяется до комплексных чисел, с функцией становится намного сложнее работать. Для начала, ее невозможно представить графически.
Зенон Элейский (ок. 490 — ок. 430 до н.э.) — древнегреческий философ, который создал ряд парадоксов, или апорий, чтобы поддержать учение своего учителя Парменида, утверждавшего, что ощущения, которые мы получаем о мире, иллюзорны. В частности, с помощью логических рассуждений Зенон пытался доказать, что физического движения не существует. Действующими лицами самого известного его парадокса являются легконогий Ахиллес и черепаха, соревнующиеся друг с другом. Поскольку воин бегал намного быстрее, он дал черепахе большую фору. После старта Ахиллес пробежал расстояние, которое разделяло соперников изначально, но по прибытии туда обнаружил, что черепахи там уже нет, она уже продвинулась вперед на небольшой кусок. Не падая духом, герой продолжил бег, но когда он пришел на то место, где была черепаха, та снова продвинулась. И так происходило до бесконечности. Таким образом, Ахиллес так и не догнал черепаху. Вывод очевиден: поскольку наши ощущения говорят нам, что Ахиллес догонит черепаху, значит, наши ощущения обманывают нас, и Парменид был прав. Однако рассуждение Зенона легко опровергается. Промежутки времени, за которое Ахиллес пробегает расстояние, отделяющее его отточки, в которой только что находилась черепаха, каждый раз все меньше, и их сумма дает конечный результат, так что человек догонит черепаху. Предположим, что Ахиллес дает черепахе изначальное преимущество в D и что воин бежит со скоростью, которая только вдвое больше скорости черепахи. Когда Ахиллес прибежит в то место, где была черепаха, животное преодолеет (1/2)D пути. Повторим рассуждение: когда Ахиллес проходит D + (1/2)D, черепаха продвигается еще на (1/4)D. Если представить это в математическом виде, то расстояние, которое должен пройти Ахиллес, чтобы догнать черепаху, задано суммой
D+D/2+D/4+D/8+...
Так что в худшем случае получается, что Ахиллес должен пробежать
но по результату Эйлера мы знаем, что сумма ряда конечна и на самом деле она равна π²/6, поэтому расстояние, которое должен пробежать Ахиллес, также конечно. Более того, расстояние, которое он пробегает до того, как догнать черепаху, — обозначим его через d — равно
d<=(1/2+π²/6) · D
Если мы выполним вычисления, получится, что d < 2,144 · D. Действительно, можно вычислить, что расстояние, которое пробегает Ахиллес, чтобы догнать черепаху, при его двойной скорости равно d = 2D.
Дзета-функция, которой пользовался Эйлер, — это действительная функция с действительным значением, то есть для действительного значения мы получаем результат, который также является действительным значением. Например, мы знаем, что
Благодаря этому можно изобразить функцию в виде графика на плоскости, которую математики обозначают R². Когда мы меняем область определения функции, то есть множество, в котором она принимает значения, на множество комплексных чисел, результат функции также становится комплексным числом. Если мы сочтем, как это сделал Эйлер, что комплексное число a + bi может быть представлено как пара (a, b) е R², и то же самое справедливо для ζ(α + bi), которое также является комплексным числом, то получается, что его графическое представление должно осуществляться в R4, то есть в пространстве из четырех измерений. Построение графиков в пространствах из четырех измерений нам недоступно, однако Риман смог вообразить эту функцию в четырех измерениях и понял, что существует связь между простыми числами и нетривиальными нулями функции, то есть теми, действительная часть которых лежит строго между 0 и 1.