Отмечая наступление нового тысячелетия, Институт Клэя выбрал семь математических задач, которые устояли перед всеми попытками их решения. Это было сделано в подражание Давиду Гильберту, который за 100 лет до этого определил перечень из 23 задач, ставших ориентиром для всех математиков XX века. Единственная задача, которая включена в оба списка, — это гипотеза Римана. Задачи тысячелетия охватывают самые важные области математики. Их перечень выглядит так.
1. Р относительно ΝΡ. Сформулирована Стивеном Куком в 1971 году. Возможно, это центральная проблема наук о вычислении. В основном математические проблемы сегодня классифицируются по классам Р и ΝΡ. Класс Р содержит все проблемы, которые могут быть решены с помощью алгоритма за полиномиальное время. Это означает, что число итераций ограничено многочленом, в котором переменная — «размер» проблемы. Эти проблемы решаемы с помощью компьютеров. Класс ΝΡ сформирован теми проблемами, для которых не существует алгоритмов в полиномиальном времени, но если у нас есть возможное решение проблемы из этого класса, то мы можем определить, хорошее оно или нет, за полиномиальное время. Из предыдущего определения следует, что любая проблема Р также является проблемой ΝΡ, тο есть любая проблема, решаемая в полиномиальном времени с помощью правильно подобранного алгоритма (Р), — это также проблема, которая допускает быструю проверку возможного решения (ΝΡ). Задача заключается в том, чтобы доказать (или опровергнуть), что любая проблема ΝΡ также является проблемой Р.
2. Гипотеза Ходжа. Связана с исследованием форм сложных объектов с помощью приближения на основе сочетания самых простых геометрических блоков возрастающей размерности.
3. Гипотеза Пуанкаре. Предложена в 1904 году знаменитым французским математиком Жюлем Анри Пуанкаре (1854-1912). В ее самом простом выражении говорится, что есть только одна компактная односвязная разновидность размерности 3 — трехмерная сфера. Это единственная решенная проблема в списке — корректное доказательство в 2003 году представил российский ученый Григорий Перельман (р. 1966). За это открытие ему было решено вручить Филдсовскую премию, однако ученый от награды отказался.
4. Гипотеза Римана. В ней утверждается, что действительная часть нетривиальных нулей дзета-функции Римана равна 1/2.
5. Задача Янга — Миллса. Поставлена как математическая задача и относится к изучению уравнений Янга — Миллса, крайне важных для объединения квантовой электродинамики с теорией электрослабого взаимодействия.
6. Задача Навье — Стокса. Изучение существования решения для основных уравнений движения вязких жидкостей.
7. Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера. Состоит в изучении того, бесконечным или конечным является множество рациональных решений для эллиптической кривой.
При этом он начал с вычисления нетривиальных нулей функции и на основе этих вычислений и глубокого понимания сути дзета-функции предположил, что действительная часть любого нетривиального нуля функции равна 1/2. Это утверждение известно как гипотеза Римана.
Риман сразу же понял, что его гипотеза может объяснить причину, по которой результат Гаусса с функцией Li(N) оказался таким точным. Позже было доказано, что гипотеза Римана эквивалентна первой гипотезе о простых числах Гаусса.
Перфекционизм, которым страдал Риман в период своего обучения, чуть не помешал ему записать свои открытия. Без сомнения, так сказывалось влияние Гаусса, который настаивал на том, что публиковать следует только идеальные доказательства, абсолютно лишенные пробелов. В ноябре 1859 года Риман опубликовал в ежемесячных заметках Берлинской академии эссе о своих открытиях. Этим десяти страницам плотных математических рассуждений было суждено быть единственными, которые Риман опубликовал по вопросу простых чисел, и несмотря на это они оказали значительное влияние на восприятие данных чисел в будущем. И все же, несмотря на блестящую интуицию Римана, эссе не было оценено. Вслед за своим учителем, Гауссом, Риман уничтожил все «леса». Главный тезис эссе состоял в том, что функция L.(N) Гаусса будет предоставлять каждый раз все лучшее приближение к функции π(Ν) по мере нашего продвижения в расчетах. Хотя Риман предложил инструмент доказательства гипотезы Гаусса, решение осталось вне досягаемости. Впрочем, Риман ввел форму, с помощью которой в будущем оказалось возможным подступиться к проблеме. Доказательство гипотезы Римана сразу же захватило математиков.