Теперь подумаем о другом примере оптимизации. Мы на улице, и кто-то спрашивает нас, как быстрее попасть на автобусную остановку. Ответ не может быть числом и даже списком чисел. Логичным ответом было бы объяснение дороги: куда надо идти, где повернуть и так далее. Этот тип ответа лучше всего привести к математическому описанию с помощью функции, которая дает тому, кто пользуется ею, критерий к действию в зависимости от места, в котором он находится в каждый момент пути. Задачи на оптимизацию, в которых решение — это функция, известны как вариационные проблемы, и они очень широко применяются в физике.
В 1829 году появилась короткая публикация Гаусса о проблеме вариационного исчисления в механике, в которой он ввел понятие принципа наименьшего принуждения. Под принуждением к движению Гаусс понимал ограничения, которым подвержено движение в любой физической системе. Ученый утверждал, что природа стремится сделать принуждение минимальным:
«Очень заметно, что свободные движения, когда они не могут сосуществовать с необходимыми условиями, модифицируются при родой точно так же, как математик, согласно методу наименьших квадратов, приводит к согласию наблюдения, связанные между собой необходимыми зависимостями. Можно продолжить эту аналогию, но это не является сейчас моей целью».
Идея состоит в том, что природа действует наиболее свободным способом из тех, которые возможны при наложенных ограничениях. Как видно, здесь снова появляется отсылка к одному из главных открытий Гаусса — методу наименьших квадратов.
Ученый сделал многое для того, чтобы математика могла сочетаться с физикой. В своей работе Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii («Общие принципы теоретической схемы жидкостей в состоянии равновесия») 1830 года он вновь рассмотрел вариационную задачу, связанную с определением рисунка равновесия поверхности жидкости при учете гравитации и сил капиллярности и адгезии:
«В результате деликатного и сложного исследования мы получаем состояние равновесия, которое доступно здравому смыслу и показывает адаптацию под несколько превалирующих сил в конфликте».
Снова та же самая идея принципа наименьшего принуждения, в этот раз примененного к механике жидкостей.
В рамках идей того же порядка Гаусс работал с формализацией и математическими свойствами ньютоновского притяжения, создав так называемую теорию потенциала. Именно в этом контексте появляется знаменитый закон Гаусса: «Поток в гравитационном поле через произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален общей массе, заключенной в этой поверхности», где гравитационное поле — это множество сил, которые представляют гравитацию. Этот результат сокращает до элементарных вычислений работу, которая раньше требовала специально разработанных методов.
Нельзя сказать, что на момент приезда Вебера Гаусс был далек от физики, но благодаря ему математик занялся физическими проблемами гораздо более решительно и усердно. Теперь он стремился найти ответы на вопросы техники и инженерного дела.
В 1832 году, параллельно с интересом к электричеству, Гаусс начал исследования в области земного магнетизма. Следует заметить, что сегодняшнее представление об электричестве и магнетизме как двух аспектах одного и того же явления тогда было далеко не очевидным. Инициатива участия Гаусса в изучении магнетизма принадлежала Александру фон Гумбольдту, который искал сотрудничества с ним, чтобы установить сеть точек наблюдения земного магнитного поля во всем мире. Речь идет о первой в истории попытке начать крупномасштабное наблюдение с новыми требованиями: установление общих стандартов, техник измерения, требований к точности и достоверности. Цели программы состояли в изучении распределения земного магнетизма, изменений его интенсивности со временем, склонения и наклонения, а также, что довольно амбициозно, в определении происхождения магнитного поля Земли. Уже в 1832 году Гаусс опубликовал важную работу об абсолютном измерении магнитного поля Земли под названием Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata («Измерение абсолютной интенсивности магнитного поля Земли»).
Александр фон Гумбольдт (1769- 1859) — немецкий географ, натуралист и исследователь, младший брат лингвиста и министра образования Вильгельма фон Гумбольдта. Его называют отцом современной всеобщей географии. Гумбольдт был чрезвычайно разносторонним натуралистом. Путешествия вели исследователя из Европы в Южную Америку, на территорию современной Мексики, США, на Канарские острова, в Центральную Азию. Он специализировался в самых разных областях науки, таких как этнография, антропология, физика, зоология, орнитология, климатология, океанография, астрономия, география, геология, минералогия, ботаника, вулканология и гуманизм. Гумбольдт сотрудничал с Гауссом при разработке «Атласа геомагнетизма».